Ricci流及其在微分幾何學中的套用

《Ricci流及其在微分幾何學中的套用》是依託首都師範大學，由張振雷擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：Ricci流及其在微分幾何學中的套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張振雷
• 依託單位：首都師範大學

項目摘要

擬開展下述問題的研究：1.有限時間內Ricci流的奇點分析和拼擠估計,將對一些特殊的四維流形，比如具有正定自對偶部分曲率運算元的流形進行研究；2.正規化Ricci流的長期存在性與收斂性；3.Kahler Ricci流的收斂性,將對高維Fano流形上Kahler-Ricci流的收斂性進行研究；4.具有大對稱性流形上的Ricci流；5.收縮Ricci soliton的幾何性質等。

結題摘要

本項目旨在研究Ricci流在奇異點的性質和長期收斂性質，藉此討論Ricci流在微分幾何中的套用。Ricci流由R. Hamilton在1982年的一篇文章創立，30年來已經發展成幾何分析一個重要工具。其想法是研究流形上度量張量的一個退化熱方程，構造（可能局部）典則度量，由此反映流形的拓撲結構。G. Perelman在Hamilton工作的基礎上用Ricci流的方法解決了Poincare猜想和Thurston幾何化猜想，成為本世紀數學發展的里程碑。 本項目在研期間，共發表SCI論文5篇，內容主要圍繞申請書中所提的問題：Ricci流和Kahler-Ricci流的收斂性，Ricci孤立子模空間問題。其中，關於Ricci流長期解，申請人和合作者張宇光教授證明了四維流形上的Hitchin-Thorpe類型不等式是Ricci流長期存在的必要條件，暗示四維Ricci流長期解的拓撲障礙；關於Fano流形上的Kahler-Ricci流，申請人證明了用來判別該Ricci流收斂的一個用加權Laplacian運算元的譜分布給出的充要條件，簡化Phong-Song-Sturm-Weinkove的判別方法，該條件在研究Kahler-Ricci流的收斂將起到作用；申請人和合作者阮衛東教授和張宇光教授證明，如果維數大於等於3，Fano流形Kahler-Ricci流半維數積分曲率有界等價於曲率本身有界，給出了解Kahler-Ricci流的一個側面；關於Ricci孤立子的模空間問題，申請人與田剛教授證明在Gromov-Hausdorff拓撲下，Ricci孤立子的模空間結構與Einstein流形的模空間結構一致，將Cheeger-Colding-Tian的Ricci曲率有下界的收斂理論推廣到常Bakry-Emery-Ricci曲率的情況。