《緊複流形自同構群與典則度量的形變》是依託西北大學，由熊梅魁擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：緊複流形自同構群與典則度量的形變
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：熊梅魁
- 依託單位：西北大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在復幾何中，關於凝聚層（coherent sheaves）的半連續性定理是非常重要而且非常有用的，將該定理套用於全純向量場的芽層，可知當緊複流形的復結構形變時，相應的全純自同構群的維數具有上半連續性。另一方面，Ebin發現了關於緊黎曼流形的黎曼結構形變時相應的等距群本身有某種“半連續性”。受Ebin的定理的啟發，作者打算研究關於緊複流形的復結構形變時，相應的全純自同構群本身的的“半連續性”定理，這種“半連續性”定理可看作上面說的凝聚層的半連續性定理套用於全純向量場的芽層所得結論的改進。.凱勒流形上的典則度量的存在性與流形本身的某種穩定性（通常是某種代數幾何意義下的穩定性）的關係是微分幾何的中心課題。Szekelyhidi成功地套用K穩定性研究了當流形復結構形變時，常數量曲率凱勒度量的形變。作者打算套用Modified K-穩定性去研究當流形復結構形變時，凱勒-里奇孤立子度量的形變。
結題摘要
1.在復幾何中，關於凝聚層（coherent sheaves）的半連續性定理是非常重要而且非常有用的，將該定理套用於全純向量場的芽層，可知當緊複流形的復結構形變時，相應的全純自同構群的維數具有上半連續性。另一方面，Ebin發現了關於緊黎曼流形的黎曼結構形變時相應的等距群本身有某種“半連續性”。受Ebin的定理的啟發，作者研究了關於緊複流形的復結構形變時，相應的全純自同構群本身的的“半連續性”定理，這種“半連續性”定理可看作上面說的凝聚層的半連續性定理套用於全純向量場的芽層所得結論的改進。目前，作者在代數流形的極化形變的條件下證明了自同構群的半連續性定理。作者希望能在不久的將來證明一般的複流形形變情形的同構群的半連續性定理。2.凱勒流形上的典則度量的存在性與流形本身的某種穩定性（通常是某種代數幾何意義下的穩定性）的關係是微分幾何的中心課題。Szekelyhidi成功地套用K穩定性研究了當流形復結構形變時，常數量曲率凱勒度量的形變。作者打算套用Modified K-穩定性去研究當流形復結構形變時，凱勒-里奇孤立子度量的形變，但在作者的研究進程中，Eiji Inoue已經按類似的思路徹底解決了該問題。3.本項目參與者萬建明對近復結構的可積性和黎曼幾何的若干問題進行了研究，發表了兩篇論文，其中一篇文章通過引入調和近復結構，得到了近復結構可積性的一個必要條件，另一篇文章研究了Brown球面定理的度量版本。
