《復幾何中的典則度量和Ricci流》是依託北京大學，由朱小華擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：復幾何中的典則度量和Ricci流
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：朱小華
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目是有關複流形上典則度量和Ricci流的研究。複流形上的典則度量是復幾何研究的一個核心內容和熱點。 Ricci流是當今幾何分析的一大熱點，並且與典則度量的研究密切相關， 是研究Einstein度量和Ricci孤立子非常有效的工具。圍繞典則度量和Ricci流，我們將集中研究以下五個方面的課題，即環流形上典則度量的存在性，有關Kaehler-Ricci 流的Hamilton-田剛猜測，完備流形上 Kaehler-Ricci 孤立子的構造，完備流形上Kaehler-Ricci 流的幾何與丘成桐的一致化猜測， 及其Kaehler-Ricci 孤立子的穩定性問題。
結題摘要
本項目是有關里奇流和復幾何中典則度量的研究。里奇流是近十多年微分幾何和幾何分析的研究熱點課題。自從Hamilton和Perelman發表開創性工作以來，一大批傑出數學家，如Huiskin, Schoen, Willking, Brendle, 田剛等在相關方面取得引人注目的成就。 國內朱熹平，陳兵龍等人也有眾多出色的工作。隨著正曲率運算元球定理,拼擠球定理的解決, 迷向正曲率幾何的深入研究, 極大地推動了微分幾何的發展，並且湧現出新的有待解決的問題。 其中里奇流的奇性分析和里奇孤立子的分類是核心問題之一。 復幾何中典則度量研究，近幾年來取得突破性進展。 特別是田剛有關凱勒-愛因斯坦度量存在性的丘成桐－田剛－Donaldson猜測的解決，凱勒幾何的研究取得空前繁榮，湧出一大批豐富的成果和新課題。其中田剛的K-穩定性理論與分析中部分先驗估計之間如何聯繫是研究典則度量存在性的核心問題之一. 我們在過去四年項目研究期間，圍繞相關核心問題， 取得了豐碩的成果，完全達到了項目研究計畫。四年來共發表共發表論文8篇,1 篇錄用, 6篇arxiv 上預印本。取得的進展包括：一．Bakry-Emery 里奇曲率有下界的黎曼流形族的緊化理論。這個工作可作為著名的Cheeger-Colding有關里奇曲率有下界的黎曼流形的緊性理論的推廣。 作為套用，我們證明了有關幾乎凱勒-里奇孤立子情形的田剛的部分C^0猜測。二． 具有環流形結構的流形上典則度量的研究。1.利用Riemann-Roch定理，把田剛－朱小華在2002年引進的幾何不變數推廣到代數幾何形變的情形。2.我們研究了可約李群緊化空間上的K-能量的逆緊性，給出了此類流形上存在凱勒-愛因斯坦度量或存在凱勒里奇孤立子的一個充分必要條件。 三. 關於完備流形上里奇孤立子的剛性研究. 我們證明了具有非負雙全純截面曲率的完備非塌縮穩態的凱勒里奇孤立子一定是平面。這個結果可以看作Perelman的有關極大體積具有非負曲率運算元穩態的里奇孤立子剛性結果和Ni Lei的有關極大體積具有非負雙全純截面曲率穩態的凱勒里奇孤立子剛性結果的推廣。特別部分地解決了 H. Cao在二十年之前提出的一個猜測。
