子流形曲率流及相關問題研究

《子流形曲率流及相關問題研究》是依託湖北大學，由李光漢擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：子流形曲率流及相關問題研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李光漢
• 依託單位：湖北大學

項目摘要

子流形幾何是現代微分幾何的重要研究內容，其研究不僅具有重要的數學意義，而且在理論物理上也有很多套用。本項目主要探討子流形的整體幾何與分析性質，包括子流形的曲率流、Bernstein性質以及其它相關幾何問題等方面。具體地，我們一是研究發展速度為一類非齊性曲率函子的凸超曲面曲率流和具有位置向量平衡項的曲率流及其在圖像處理中的套用，二是研究歐氏空間中一類高余維子流形的平均曲率流，三是研究Kahler-Einstein流形中一類辛子流形的平均曲率流，四是研究彎曲偽黎曼流形中非緊類空子流形的平均曲率流，最後是研究彎曲外圍空間中高余維數子流形或類空子流形的Bernstein性質。這些都是當前微分幾何和幾何分析研究的基本問題或熱點問題，也是理論物理學家關注的重要問題。

結題摘要

本項目主要探討流形的整體幾何和分析性質，包括子流形的曲率流、黎曼流形的特徵值研究、以及開流形的微分同胚性質等方面。本項目按計畫完成了研究任務，具體地，我們研究了如下三方面問題。（1）子流形的曲率流方面，我們一是研究了歐氏空間中凸超曲面和Pinching子流形的具有位置向量方向外力場的平均曲率流，證明了隨著外力場大小的不同，凸超曲面會出現有限時間內收縮到一球形點，或長時間存在並收斂到球面，或發散到無窮遠三種情況，並且規範化後均收斂到標準球面。二是研究了一類近Fuchsian流形保持曲面面積的平均曲率流和凸錐中具有垂直邊界的保體積平均曲率型流，以及雙曲空間中發展速度為第k個平均曲率的冪次方的保體積曲率流，這些流均指數收斂到常平均曲率超曲面。三是研究了Minkowski空間中具有毛細邊界的類空圖超曲面的平均曲率流問題，證明了該流具有長時間存在性並收斂到平移解。（2）黎曼流形上橢圓運算元的特徵值估計方面，我們一是給出了Heisenberg群上有界區域水平切叢上橢圓運算元的特徵值估計，二是研究了緊緻流形或子流形上四階散度型加權橢圓運算元和雙Drifting拉譜拉斯運算元的特徵值估計，證明了一個Payne–Polya–Weinberger–Yang型的特徵值不等式。三是研究了一大類Ricci平坦流形的有界域上任意階多重調和橢圓運算元的Buckling特徵值估計問題。我們均給出了用前k-1個特徵值表示第k個特徵值估計的萬有不等式。（3）黎曼流形的微分同胚研究方面，我們一是研究了截面曲率有下界，且有閉測地線和一定的體積增長的開黎曼流形的結構和性質，證明了該類流形和推廣柱面等距。二是研究了開黎曼流形的微分同胚問題，把流形和旋轉對稱的von Mangoldt模曲面進行比較，運用Toponogov三角形比較定理，證明了該類流形和歐氏空間同胚，從而得到了流形的剛性分類。這些問題都是微分幾何與幾何分析領域研究的基本課題，也是幾何學家與物理學家關心的問題，具有重要的理論意義。