乘積流形中子流形的幾個整體性問題

《乘積流形中子流形的幾個整體性問題》是依託武漢大學，由邱紅兵擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：乘積流形中子流形的幾個整體性問題
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：邱紅兵
• 依託單位：武漢大學

項目摘要

乘積流形中子流形的整體性質問題是微分幾何學家廣泛關注的重要問題之一，目前微分幾何學家主要利用幾何直觀及初等分析和ODE的方法研究問題。而利用複分析、橢圓和拋物方程進行乘積流形中子流形整體性質的研究還比較匱乏。本課題擬運用複分析、橢圓和拋物方程理論來研究以下四類問題：研究M^nxR中極小圖的連通分支的最大個數問題；研究乘積流形MxN中逆緊極小子流形在M上的投影的有界性問題及其譜問題；研究當M ,N均為完備非緊黎曼流形時, MxN中圖的平均曲率流的長時間存在性和收斂性。第一個問題是Meeks猜想在M^nxR中的推廣；第二個問題與著名的Calabi-Chern問題密切相關；第三個問題是研究非緊黎曼流形的平均曲率流的一個重要課題。因此本項目的研究對乘積流形中子流形幾何的發展有很大的推動作用。

結題摘要

本項目主要研究了三方面的內容：一、研究了當外圍流形是具有有界幾何的完備黎曼流形時，初始流形是閉的超曲面，考慮它在冪平均曲率流下的形變。我們在一定的曲率條件下建立了冪平均曲率流的延拓定理，推廣了Y. Li的結果。該一定的曲率條件是指：在冪平均曲率流下，第二基本形式有下界以及全平均曲率有限。主要的研究方法是首先計算各種幾何量的發展方程，運用Hoffman-Spruck的Sobolev不等式建立適用於廣義平均曲率流的Sobolev不等式，在此基礎上，結合Moser疊代技巧，建立廣義平均曲率流的反向Holder不等式和Harnack不等式，從而證明我們的主要定理。二、 研究了出發流形是完備非緊黎曼流形的V-調和映照的存在性和唯一性。這包含了目標流形是非正曲率和正曲率兩種不同情形，所採取的證明方法是不同的，事實上在處理目標流形是正曲率情形比非正曲率情形更加複雜，為把前者的條件做到最佳，我們建立了V-調和映照的Liouvile型定理，而且我們證明了在Bakry-Emery Ricci條件下的V-Laplacian 比較定理。我們也給出了V-調和映照的一些套用。三、給出了徑向截面曲率滿足一定衰減條件的完備黎曼流形中的平均曲率滿足一定條件的完備逆緊子流形上的Omori-Yau極值原理。利用廣義極值原理，我們分別得到了雙曲空間中包含於偽球的逆緊子流形的平均曲率估計和雙曲空間與歐氏空間的乘積流形中在雙曲空間中投影包含於雙曲空間中的偽球的逆緊子流形的平均曲率的估計。