《校準子流形及其相關問題》是依託復旦大學，由東瑜昕擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：校準子流形及其相關問題
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：東瑜昕
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
校準子流形是一類非常重要的極小子流形, 它在理論物理的弦理論和高維規範場理論中起著重要的作用。本項目與偏微分方程、復幾何和辛幾何等數學分支密切相關，它是整體微分幾何的前沿課題之一。 我們擬套用整體微分幾何、偏微分方程、復幾何和辛幾何的理論方法，側重於研究校準子流形的剛性問題、形變理論、顯式構造、 分類問題和奇性問題等，尤其是以特殊拉格朗日子流形和特殊拉格朗日纖維化為研究重點。剛性問題涉及校準子流形的伯恩斯坦問題，以及從各種角度刻畫某些典型的特殊拉格朗日子流形及其纖維化。形變理論和顯式構造有益於我們理解特殊拉格朗日纖維化的幾何結構和奇性結構。本項目不僅能豐富極小子流形幾何的研究內容，還體現了微分幾何與理論物理的互動作用。
結題摘要
項目成員在該基金項目的資助下，做了如下工作：(1) 顯式構造了一類austere 類空的子流形， 其法叢提供了indefinite special Lagrangian 子流形，後者是一類重要的校準子流形；(2) 對不定空間形式中的類空子流形建立了一個內蘊不等式, 並利用該不等式得到了類空子流形的剛性定理。研究了局部對稱L o r e n t z 空間中滿足 R = a H + b 的一類類空超曲面，導出了這類超曲面兩個剛性定理。另外還研究了偽歐氏空間中完備類空子流形的第一特徵值, 證明了如果Gauss像是有界的，那么其第一特徵值為零；(3) 研究了復空間形式中具有共形Maslov類的Lagrangian子流形。利用一個新的第二基本形式，對於這些Lagrangian子流形建立了若干剛性定理，從而刻畫了Whitney球；(4) 利用應力- 能量張量和c o a r e a 公式對於滿足守恆律的p-形式給出了建立單調不等式的一般方法，由此得到了各種消滅定理. 這些套用涉及極小子流形的剛性、極小圖的Bernstein定理、F - 調和映照和帶位勢調和映照的Liouville 定理、B o r n - I n f e l d 場、F - Y a n g M i l l s 場等的消滅定理。對於Kaehler流形之間的調和映照，建立了部分能量的單調不等式，給出了刻畫全純性的增長性條件。對於具有常數量曲率的Kaehler流形得到了刻畫Ricci 平坦、單值化型的定理，對於歐氏空間中real Kaehler子流形在有限全數量曲率的條件下得到了Bernstein型的定理，推廣了Kaehler子流形的已知結果。引入了Hermitian pluriharmohic map, 並從守恆律的角度建立了部分能量的單調不等式，給出了刻畫全純性的增長性條件。
