《高余維極小子流形的Gauss映照值分布及相關問題》是依託復旦大學，由楊翎擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：高余維極小子流形的Gauss映照值分布及相關問題
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：楊翎
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將著重研究歐氏空間的高余維極小子流形的Gauss映照值分布問題，並在此基礎上研究Gauss映照值分布與平均曲率流的存在性之間的聯繫。Bernstein問題是子流形幾何的重要課題之一，但已有的大部分結果都要求極小子流形的Gauss像落在像流形的測地凸集之內；而高余維參數化極小子流形的Gauss映照值分布問題幾乎無人涉獵。本項目將在申請人已有工作的基礎之上，進一步挖掘極小子流形的Bernstein性質與其Gauss映照像流形上凸函式存在性之間的關係，並綜合運用幾何、分析、代數的方法，構造非平凡極小子流形的實例或研究其Gauss映照值分布等整體幾何性質。申請人期望能由此推進Lawson-Osserman問題的解決和Do Carmo猜想的證明。在此基礎上，項目組將嘗試通過曲率估計或奇點分析等途徑，研究當起始子流形的Gauss像落在特定區域內時，由此出發的平均曲率流的長時間存在性。
結題摘要
極小子流形的Bernstein問題，以及與此相關的Gauss映照值分布問題，是微分幾何重要的研究課題。2012年1月至2014年12月，本課題組在已有文獻和項目組成員既有工作的基礎上，對上述問題進行了系統深入的研究，並從Gauss像的角度研究了平均曲率流的幾何性質，取得了一系列成果。這些成果建立在對Gauss映照像流形（球面或實Grassmann流形）的凸幾何性質的研究、歐氏空間子流形的可積性條件的運用，以及橢圓型偏微分方程的解的先驗估計的改進等工作的基礎之上，不僅有深刻的獨立意義，而且對其它相關課題的研究具有一定的參考和借鑑價值。反映上述成果的論文已發表在J. Diff. Geom和Calc. Var. PDE等SCI雜誌上。
