《關於臨界度量和Ricci孤立子的剛性問題及其幾何結構》是依託福建師範大學，由林和子擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於臨界度量和Ricci孤立子的剛性問題及其幾何結構
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：林和子
- 依託單位：福建師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
一個黎曼度量稱為臨界度量，如果它的Ricci曲率張量滿足某種Bochner型公式，其中包括愛因斯坦度量，具有常數量曲率的局部共形平坦度量。Ricci孤立子在weighted意義下也可以看作具有臨界度量。在本項目，我們將首先利用應力-能量張量在光滑度量測度空間和局部共形平坦流形上建立相關幾何量的單調不等式，然後在增長性條件下得到消滅定理並給出幾何套用。同時我們將通過計算某些幾何量的Laplacian得到一類微分不等式，然後研究其解的消滅定理，並套用到具體的幾何模型中得到剛性定理，同時還將利用廣義極大值原理來研究點點pinching問題。本項目的另一個主要方面是研究Ricci孤立子的幾何結構，以及整體剛性問題。最後將研究與上述幾何模型相關的子流形的Bernstein型定理，以及Ricci孤立子和共形平坦流形上調和p-形式的消滅定理。
結題摘要
臨界黎曼度量是微分幾何的一個重要研究對象，它的Ricci曲率張量必須滿足某種Bochner型公式。具體的幾何模型包括愛因斯坦度量，具有常數量曲率的局部共形平坦度量等。臨界度量的曲率pinching現象在整體微分幾何中扮演著重要的角色。在本項目，我們利用應力-能量張量分別在光滑度量測度空間和具有臨界度量黎曼流形上建立相關幾何量的單調不等式，然後在增長性條件下分別得到了消滅定理，並給出了幾何套用。同時我們通過計算某些幾何量的Laplacian得到一類重要的微分不等式，並研究對應解的消滅定理，套用到具體的幾何模型中得到了一些剛性定理。我們證明了完備黎曼流形上F-調和映照的幾個劉維爾定理，得到了整體極小圖的一個伯恩施坦型定理。關於L^2可積或一般調和p-形式，通過假設逐點或者整體積分曲率條件，我們在局部共形平坦流形或具有充分小Weyl張量的一般流形上證明了幾個消滅定理。其中涉及到的幾何條件還有concircular 曲率, 正Yamabe不變數, the weighted Poincare 不等式以及純曲率張量等。 我們研究了子流形在第二基本形式條件下的體積增長，討論了子流形上薛丁格運算元的指標與其幾何結構的關係。當子流形具有平坦法叢時，我們計算出了任意調和p-形式的具體的Weitzenbock公式。然後在不同的幾何或分析條件下證明了子流形上調和p-形式的消滅和有限性定理，這些假設條件涉及全曲率，特徵值下界，薛丁格運算元的指標，幾何不等式，或無跡第二基本形式模長平方等。
