黎曼流形上 Ricci 曲率的幾何

《黎曼流形上 Ricci 曲率的幾何》是依託南京大學，由許奕彥擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：黎曼流形上 Ricci 曲率的幾何
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：許奕彥
• 依託單位：南京大學

項目摘要

本項目主要研究 Riemannian 流形上 Ricci 曲率的幾何。特別地，我們將研究 Ricci 曲率假設下 Riemannian 度量的形變理論及 Ricci 流的奇點理論。在第一部分中，我們將重點探索 Ricci 曲率與流形幾何拓撲結構之間的關係，Ricci 曲率有下界 Riemannian 流形的收斂理論，以及 Ricci 曲率一致有界 Riemannian 度量 Gromov-Hausdorff 極限的正則性。這三個研究課題密切相關，對 Ricci 曲率幾何的新觀點將解決很多與 Ricci 曲率有關的幾何問題。在第二部分，我們的主要目標是分類 Ricci 孤立子。特別的，我們希望能夠刻畫具有非負 Ricci 曲率的 Ricci 收縮子的幾何結構。如果獲得成功，這將幫助理解 Ricci 流的奇點理論，進而在研究流形的幾何拓撲問題上獲得新進展。

結題摘要

本項目主要考慮與 Ricci 曲率相關的幾何問題，其中主要包含黎曼流形上 Ricci 曲率與度量幾何，Ricci 收縮子的分類和結構，Calabi-Yau 流形中 Lagrangian 子流形間測地線的存在性，以及一類奇異復 Monge-Ampère 方程的解在奇點附近的漸進展開等問題。主要結果分三部分：（1） 在特定曲率條件假設下，我們可以用不同的方法重新證明 Ricci 收縮子的某些剛性定理；（2）在環面 T^n 的餘切叢中，我們可以證明兩個具有超臨界相位的 Lagrangian 圖之間存在（弱）測地線；（3）與馮可、石亞龍合作，我們可以證明一類奇異復 Monge-Ampère 方程存在弱 Hölder 連續解。