正迷向曲率流形上Ricci流的奇點分析

《正迷向曲率流形上Ricci流的奇點分析》是依託華南師範大學，由張珠洪擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：正迷向曲率流形上Ricci流的奇點分析
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張珠洪
• 依託單位：華南師範大學

項目摘要

在微分幾何中，怎樣在一定的曲率條件下去了解給定流形的拓撲一直是一個中心的課題。近三十年來，研究這個課題的一個強有力的工具就是Ricci流。隨著Ricci流理論的發展，許多重要的幾何問題得以解決，這也極力地推動著微分幾何的蓬勃發展。運用Ricci流理論去解決幾何問題的一個關鍵，就是得到奇點的結構，這就要求我們去分析Ricci流的奇點，其中重要的一步就是完全分類梯度Ricci soliton這一重要的奇點模型。另一方面，具有正迷向曲率的緊緻黎曼流形具有豐富的幾何和拓撲信息，這類流形的研究在國際上一直是一個熱點問題。在本項目中，我們主要是通過Ricci流去研究這類流形，著重分析奇點的結構。我們期望能更多的了解其幾何性質，包括得到重要的曲率拼擠估計，並以此為基礎，完全分類對應類型的soliton。更進一步，soliton 的完全分類會幫助我們了解奇點的結構，進而得到具有正迷向曲率的流形的分類。

結題摘要

了解給定流形的幾何性質和拓撲結構，是微分幾何的核心問題。在本項目中，我們運用Ricci流理論來研究具有正曲率的流形，特別是具有正迷向曲率的流形。具體地，我們分析高維流形上的Hamilton-Ivey拼擠估計，四維Einstein流形和收縮梯度soliton的幾何性質和分類問題，取得了一定的成果。（1）高維流形的Ricci流理論：我們考慮了高維流形上的Hamilton-Ivey 拼擠估計，證明了恆具有零Weyl張量的高維流形上Hamilton-Ivey 拼擠估計成立。該結果發表在J. Math. Anal. Appl. 426(2015)中。這個重要估計的進一步幾何套用的研究正在進行當中。（2）四維Einstein流形的分類問題：我們分析了截面曲率有恰當的上界的Einstein流形，證明了其上截面曲率一定非負。進一步，我們分類了一族截面曲率非負且有上界的Einstein流形。該結果體現在我們的文章Four-dimensional Einstein manifolds with sectional curvature bounded from above (submitted)中。（3）四維收縮梯度soliton的間隙現象：我們考慮了具有非負Ricci曲率的四維收縮梯度soliton，如果其Weyl張量滿足一個曲率估計，那一個間隙現象會發生。一些例子表明，我們的這個結果是最優的。該結果體現在我們的文章A gap theorem of four-dimensional gradient shrinking solitons (submitted)中。（4）四維收縮梯度soliton的分類問題：收縮梯度soliton的分類一直是一個重要的課題。如果soliton的Weyl張量滿足一個曲率估計，我們證明了其具有非負迷向曲率，從而我們分類了該類soliton。該結果體現在我們的文章Four-dimensional gradient shrinking solitons with pinched curvature (submitted)中。