《關於流形的一些幾何與拓撲問題》是依託北京師範大學，由趙旭安擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：關於流形的一些幾何與拓撲問題
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：趙旭安
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬進行以下幾方面的研究：一：四維流形和紐結理論，特別是曲面嵌入四維流形的相關問題，紐結不變數以及拓撲圖論的有關問題，以及規範理論和Floer同調等；二：非歐幾何和空間形式中的子流形的研究；三：緊李群及Kac-Moody群及其齊性空間的幾何和拓撲，包括與它們相關的一些重要流形和代數簇上的Schubert分析，包括廣義上同調理論，等變上同調，量子上同調和算術上同調等；四：與Ricci流相關的一些問題，如利用Ricci流研究雙截曲率非負的Kahler流形的性質，Ricci流和黎曼流形的塌縮理論的聯繫。五：Alexandrov 幾何。這些大都是與其它數學分支聯繫密切，引人關注的問題。其研究需要綜合運用代數，幾何，拓撲，分析等多方面的工具和方法，很有意義，值得研究。
結題摘要
本項目研究了關於流形的拓撲和幾何的一些重要課題。其中主要包括：1.紐結的不變數；2.非歐幾何和空間形式中的子流形的研究；3.緊李群及Kac-Moody群及其齊性空間的幾何和拓撲，包括與它們相關的一些重要流形和代數簇上的Schubert 分析；4.與Ricci 流相關的一些問題，如利用Ricci 流研究雙截曲率非負的Kahler 流形的性質；5.Alexandrov 幾何。這些課題都是現代數學中重要的課題。這些方面的研究也被國內外學者廣為關注。 在本項目執行的四年時間裡，項目組成員通力合作、辛勤工作，取得了豐碩的研究成果，其中主要有：1.證明了區域交叉變換對於一個鏈環投影圖是一個解結操作若且唯若該鏈環是恰當的，由此給出了一個計算恰當鏈環Arf不變數的新方法；2.引入了虛紐結實交叉點的指標。利用這一指標，我們定義了一個odd writhe多項式，這一指標被國際同行廣泛引用，並得到了進一步的延伸和推廣；3.定義了紐結的正quandle不變數；4.確定了雙曲幾何中的圓錐截線的度量幾何分類與完全不變數系統；5.研究了空間型中的正螺面，並證明其為極小曲面；6.給出了對偶Schubert多項式的定義，證明可以通過帶權重的Ehresmann圖來計算；7.研究了旗流形的Poincare級數，完全解決了Kac-Moody群及其旗流形的有理上同調的計算問題；8.研究了Kac-Moody群的Weyl群的不變數，證明並推廣了Moody關於Weyl群不變數的重要猜想；9.利用Ricci流得到了具一致正迷向曲率和有界幾何的完備非緊四維黎曼流形和orbifolds的分類；10.對orbifolds包括緊但奇點不孤立的情形，得到了具正的橫截正交雙截曲率的Sasaki流形的分類，提出並研究了一類新的幾何流即橫截Chern-Ricci流；11. 給出了Perelman等人的幾乎等距定理的直接證明；12.利用Toponogov比較定理建議了一個幾何中重要的面積比較定理；13. 把黎曼幾何一些經典的定理推廣到完備Alexandrov空間。 以上結果有些解決了已有的問題和猜想；有的給出了理解已有問題的新的觀點和視角；有的給出了新的定義和構造。通過這些工作，增加了人們對於相關學科中一些重要課題的理解，擴展了這些學科中的知識。
