《低維流形的幾何與拓撲》是依託首都師範大學，由方復全擔任項目負責人的重點項目。
基本介紹
- 中文名：低維流形的幾何與拓撲
- 項目類別：重點項目
- 項目負責人：方復全
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題的主要擬研究如下幾類問題：. （1） 四維流形的幾何與拓撲：研究Seiberg-Witten理論與周期流形、四維Einstein流形的拓撲等。. （2） 正（負）曲率黎曼流形的幾何拓撲：研究正曲率流形的拓撲有限性問題，即對於給定同倫型，是否在同胚意義下只有有限多個的正曲率流形實現該同倫型。. （3）研究Heegaard分解與映射類群的關係，研究Heegaard分解的距離所蘊含的三維流形的拓撲性質和幾何結構。. （4）低維流形映射或自同胚的周期點的估計量及與其他拓撲不變數之間的關係。. （5）流形的等變分類問題，如：等變同胚分類、等變配邊分類等， 以及哪類群可以非平凡作用到指定流形上等。
結題摘要
在流形的幾何及四維流形研究中, 我們發現了四維流形中長時間的正規化的、截面曲率有界的Ricci流的存在性的拓撲阻礙, 如歐拉示性數的非負性等. 利用Seiberg-Witten理論以及等變K-理論等深入研究了四維流形上的群作用, 一方面研究了一些Spin 四維流形上的局部線性群作用的拓撲分類, 在一定條件下證明了某些Spin四維流形上存在不能被任意光滑結構所光滑化的局部線性對合作用. 對一階同調群為有限群的一些四維流形的二階同調類, 給出了其表示曲面虧格的下界. 這些結果很好地揭示了四維流形的內在的拓撲性質. 在三維流形拓撲研究中, 我們討論了三維流形的Heegaard分解與映射類群、鏈環群與同倫群之間的關係. 在紐結的隧道數連通和下的行為、融合Heegaard分解的虧格的估計等方面的問題進行了系統深入的研究. 在等變流形的分類研究中, 我們找出了2-torus流形的等變配邊類的典型代表元,從而確定了由2-torus流形生成的等變配邊環的環結構及其生成元. 更進一步, 我們證明了一個2n維酉環面流形的酉等變配邊類完全由第一及第二個等變陳類給出的等變陳示性數所決定. 利用這些的結果, 獲得了非等變配邊於零的2n維酉環面流形的不動點個數的下界. 將環面拓撲中單凸多面體上的幾種等變流形, 如小覆蓋、擬環面作用流形等, 納入軌道構型空間（orbit configuration space）這個統一的研究架構中. 利用單凸多面體的相關語言, 我們給出了這一類流形的一些拓撲不變數, 如Euler示性數等, 的顯性計算公式. 從而揭示了等變流形的拓撲與群作用之間的關係. 在項目執行期間, 我們組織多次國際性或國內的學術會議, 邀請當前國內外在幾何與拓撲領域的學者前來訪問, 做學術報告.
