流形的收縮幾何與拓撲

《流形的收縮幾何與拓撲》是依託湖南師範大學，由劉羅飛擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：流形的收縮幾何與拓撲
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉羅飛
• 依託單位：湖南師範大學

項目摘要

收縮(systolic)幾何與拓撲是近三十年來十分活躍的數學領域，它為流形的幾何與拓撲研究注入了新的活力。我們將結合代數拓撲的已有成就及度量幾何方面的最新成果研究流形的各種收縮不變數及其與舊的度量不變數（如體積）之間的關係，為了解流形的某些拓撲性質提供幾何思路。通過一些重要的收縮不等式的深化和一般化研究，闡明這些普適不等式成立的數學機制。採用球體積下估計方法，探索更強的收縮不等式。具體地，本項目將研究以下四個方面的內容：Gromov收縮不等式的延續與深化；高階同倫收縮周期，相對收縮周期；球體積與收縮不變數的估計；收縮拓撲。本項研究不僅能豐富收縮幾何與拓撲的內涵，促進該領域一些重要問題的進展，而且有助於加強代數拓撲、黎曼幾何、凸幾何及分析學之間的密切聯繫。

結題摘要

本項目研究內容屬於度量幾何與代數拓撲範疇，更具體地，屬於著名數學家M. Gromov所倡導的幾何與拓撲研究領域。項目旨在通過Urysohn寬度等度量不變數的深入和一般化研究及代數拓撲中一些已有成果的量化處理，加深對Gromov收縮不等式的認識，獲得新的收縮型不等式。通過本項目，我們證明了從n維黎曼流形到n維平坦環面的每個映射同倫類的膨脹本質上就是相應的1階上同調類的範數。這個結果有一系列重要的推論，例如，加強了穩定收縮周期、拓撲映射度與與流形體積之間的聯繫。對於從n維距離流形到n維球面的映射，通過距離流形剖分的幾何與組合測度關係研究，證明了k-膨脹不超過D的同倫類數目的數量級為D^(n/k)，部分地回答了Gromov提出的一個問題。聯繫到Urysohn寬度，對於歐式格、點構形及嵌入歐式空間的單純復形，我們引入了幾種寬度概念，獲得了這些寬度之間幾個最優的不等式關係。 我們通過該項目所獲得的結果對於加強代數拓撲、黎曼幾何、分析學與凸幾何之間的聯繫，有一定的理論意義。目前本項目有一篇論文在國際學術會議報告，兩篇論文已發表，大部分結果處於投稿狀態。在項目執行期間，項目負責人有5名幾何與拓撲方向的碩士研究生畢業。項目資助提高了我們的科研水平，鍛鍊和加強了我們的學術隊伍。