具某些有界曲率流形的幾何與拓撲之研究

《具某些有界曲率流形的幾何與拓撲之研究》是依託上海交通大學，由楊義虎擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：具某些有界曲率流形的幾何與拓撲之研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊義虎
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

該計畫可看成上一個計畫“完備非緊流形的結構、函式論性質及其套用”（No19801026）的繼續，但更側重於流形的幾何和拓撲方面。Cheeger-Gromoll關於完備非緊具非負截曲率流形的結構定理之後，人們把更多的注意力放到Ricci曲率上。在那之後，人們發展了各種研究黎曼流形的工具，如：Cheeger-Gromoll分裂定理，Grove-Shiohama關於距離函式臨界點理論，以及Abresch-Gromoll關於excess函式的估計等；另一個更重要的工具是Gromov等人的流形收斂理論。在此基礎上，Cheeger-Colding發展了Ricci曲率下有界流形的一般結構理論。在前面計畫中，我們側重於使用比較定理及幾何分析方法，目前計畫我們將使用這些發展起來的幾何工具進一步研究具某些有界曲率、特別是Ricci曲率下有界流形的幾何與拓撲，如基本群的結構等。

結題摘要

該計畫主要研究黎曼幾何中的若干問題，特別地我們研究了具非負Ricci曲率且二次漸進非負截面曲率完備流形的幾何與拓撲。這些問題的研究對了解流形的曲率與拓撲之間的關係具有重要意義。我們構造了五維及五維以上的相應流形，它們有無限拓撲型；因而就五維及五維以上的情形否定了Jiping Sha和Zhongmin Shen的一個猜測。這是非緊完備黎曼流形的幾何與拓撲研究中的一個重要進展。