《流形上的幾何與分析》是由張偉平、馮惠濤主編，高等教育出版社於2022年1月6日出版的教材。
基本介紹
- 中文名：流形上的幾何與分析
- 作者：張偉平、馮惠濤
- 出版時間：2022年1月6日
- 出版社：高等教育出版社
- ISBN：9787040563665
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書結合Atiyah-Singer 指標理論方面近四十年來湧現的新思想、新技術，以凝練的語言，對流形上幾何、拓撲與分析中若干經典結果，如示性類的陳-Weil 理論，等變上同調的Bott 留數公式及更一般的Berline-Vergne 局部化公式，Gauss-Bonnet- 陳定理， Poincaré-Hopf 指標公式,Morse 不等式，等等，給出了新穎而“現代”的系統介紹和處理。此外，
本書還介紹了流形上的熱方程理論，並利用熱方程方法證明了Hodge 定理和Lefschetz 不動點定理，給出了de Rham-Hodge 運算元，Hirzebruch 符號差運算元及Dirac 運算元的局部指標公式；介紹了Quillen 的超聯絡理論，並利用該理論給出了Gauss-Bonnet- 陳定理的一個新的證明；還從向量叢上一般聯絡出發，幾何地構造了向量叢的Euler 形式與Thom 形式。
本書旨在向國內的青年學子和數學工作者介紹Atiyah-Singer 指標理論的一些基礎知識，展示該理論的基本思想與方法在流形的幾何、拓撲與分析中某些問題上的重要套用，可作為數學系研究生的教學參考資料，也可供相關專業科研人員學習使用。
圖書目錄
前輔文
第一章 示性類的陳-Weil理論
1.1 de Rham上同調理論回顧 1
1.2 超向量叢 3
1.2.1 超向量空間和超代數 3
1.2.2 超向量叢 6
1.2.3 超聯絡及其曲率 8
1.3 陳-Weil定理 11
1.3.1 陳-Weil定理 11
1.3.2 示性式, 示性類和示性數 13
1.4 一些例子 15
1.4.1 陳形式和陳類 15
1.4.2 實向量叢的Pontrjagin類 16
1.4.3 Hirzebruch的$L$-類、$\widehatA $-類和$\rm Td $-類 16
1.4.4 $K$-群和陳特徵 19
1.4.5 陳-Simons超渡形式 21
1.5 葉狀結構的Bott消滅定理 22
1.5.1 葉狀結構與Bott消滅定理 22
1.5.2 絕熱極限與Bott聯絡 25
1.6 奇數維陳-Weil理論 26
第二章 Bott~公式與~Duistermaat-Heckman~公式
2.1 Berline-Vergne 局部化公式 31
2.2 Bott 留數公式 36
2.3 Duistermaat-Heckman公式 38
2.4 Bott的原始想法 39
第三章 Gauss-Bonnet-陳定理
3.1 一個初等模型及 Berezin 積分 41
3.2 Mathai-Quillen 的 Thom 形式 43
3.3 超渡公式 45
3.4 Euler 形式與 Euler 類 46
3.5 Gauss-Bonnet-陳定理的證明 47
3.6 一些註記 49
3.7 陳省身的原始證明 50
3.8 再論 Gauss-Bonnet-陳定理 52
3.8.1 Clifford 作用 52
3.8.2 Gauss-Bonnet-陳定理的又一證明 57
3.8.3 Euler 類的又一陳-Weil 表示 61
3.8.4 Thom形式的又一陳-Weil表示 65
第四章 Poincar\'e -Hopf指標公式:解析證明
4.1 Hodge定理回顧 69
4.2 Weitzenb\o ck公式 72
4.3 Poincar\'e -Hopf 指標公式和 Witten 形變 77
4.4 在$\cup _p\in \rm zero (V) U_p$外部的一個估計 78
4.5 Euclid 空間上的調和振子 79
4.6 Poincar\'e -Hopf指標公式的證明 82
4.7 $D_T,i $ 的一些估計, $2\leqslant i\leqslant 4$ 83
4.8 特殊情形的另一個解析證明 86
第五章 Morse不等式:解析證明
5.1 Morse不等式回顧 89
5.2 Witten形變 90
5.3 $(\Omega ^*(M),d_Tf )$的Hodge定理 92
5.4 $\Box _Tf $在$f$的臨界點附近的行為 92
5.5 Morse不等式的證明 94
5.6 性質5.3 \hbox 的證明 96
5.7 一些註記與評論 102
第六章 Thom-Smale與Witten復形
6.1 Thom-Smale復形 105
6.2 Thom-Smale復形的de Rham映射 107
6.3 Witten瞬子復形與映射$e_T$ 109
6.4 映射$P_\infty ,T e_T$ 111
6.5 定理6.2 \hbox 的一個解析證明 113
第七章 關於Kervaire半示性數的Atiyah定理
7.1 Kervaire半示性數 116
7.2 Atiyah的原始證明 117
7.3 由Witten形變給出的證明 118
7.4 $k(M)$ 的一個泛計數公式 121
7.5 $k(M)$的不可乘性 122
第八章 Hodge定理的熱方程證明
8.1 Laplace運算元的熱核及其基本性質 125
8.2 熱核存在性定理8.1 \hbox 的證明 139
8.2.1 Levi疊代程式 139
8.2.2 M-P擬基本解及熱核的存在性 142
8.2.3 引理 8.2 \hbox 、引理 8.3 \hbox 及引理 8.4 \hbox 的證明 150
第九章 Gauss-Bonnet-陳定理:熱核方法的證明
9.1 Mckean-Singer 猜測 157
9.2 de Rham-Hodge運算元局部指標公式的證明 160
第十章 Hirzebruch符號差指標定理:熱核方法的證明
10.1 流形的符號差的解析解釋 163
10.2 Hirzebruch符號差運算元的局部指標公式 167
10.3 Hirzebruch符號差運算元局部指標公式的證明 169
第十一章 Dirac運算元及其局部指標定理
11.1 Clifford代數和Spin群 177
11.2 自旋流形與Dirac運算元 183
11.3 Lichnerowicz公式及其套用 196
11.4 Dirac運算元的局部指標定理 200
第十二章 Lefschetz不動點定理
12.1 Lefschetz數 207
12.2 定理12.1 \hbox 的熱核證明 210
12.3 Atiyah-Bott不動點定理 213
12.4 Atiyah-Bott不動點定理的一個套用: Riemann-Roch-Hirzebruch定理 217
12.4.1 Riemann-Roch-Hirzebruch定理 217
12.4.2 Bott全純留數定理 219
附錄A 法坐標系
附錄B Mehler公式
參考文獻
