《一些幾何結構上的函式論》是依託浙江大學，由王偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：一些幾何結構上的函式論
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：王偉
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
將多複變函數論和複流形的理論推廣到具有其它幾何結構的流形上。在多變數四元數空間中全純域或擬凸域上解超定的非齊次k-Cauchy-Fueter方程及k-Cauchy-Fueter復形相關的Neumann問題。並由此得到許多關於四元正則函式的結論。對兩個八元數變數的Cauchy-Fueter運算元，用Penrose變換構造相應的正合微分復形，並作相應的的分析。把Biquard關於四元、八元數切觸流形的理論推廣到一般四元、八元強擬凸域的邊界上，從而把CR函式、CR流形的理論推廣到四元、八元強擬凸域的邊界上。對更一般的齊次空間G/P（G是一個半單Lie群，P是G的一個拋物子群），用Penrose變換構造G-不變微分運算元和這個運算元作為第一個運算元的正合微分復形。尋找對應於（G，P）的拋物流形上非平凡的函式論，並發展它們。
結題摘要
利用復幾何中Twistor變換，k-Cauchy-Fueter方程的解可以用Penrose型積分公式給出，由此可以導出了四元數空間上k-正則函式的級數展開式。利用Dolbeault上同調，這也可以用Radon-Penrose型積分公式實現。我們用Twistor變換構造了一族半單李群G_2(2)不變的微分運算元。我們刻畫了四元Siegel上半空間上平方可積函式空間到四元Hardy空間投影運算元的Cauchy-Szego積分核，並找到了Cauchy-Szego核的精確表達式。非交換Fourier變換被用來研究八元Heisenberg群上的正則函式和正則運算元，到平方可積正則函式空間投影的Szego核，以及一些二步冪零李群上切向Cauchy-Fueter運算元的相對基本解及Cauchy-Szego核。還研究了球型四元切觸流形上的幾何與分析，構造了共形不變數，提出了qc正質量猜想，並套用於Sp(n + 1, 1)的凸余緊子群。把多複變函數論中關於復Monge-Ampere運算元的多重位勢理論推廣到 k-Hessian運算元及四元Monge-Ampere運算元：定義了Lelong數，邊界測度，證明了Lelong-Jensen型公式等，並發展四元閉正流理論，推廣了Bedford-Taylor理論。我們也研究了3-規範理論及群的3-表示理論。
