《Toric流形上的幾何》是依託四川大學，由盛利擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Toric流形上的幾何
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：盛利
- 依託單位：四川大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
極值Kahler度量的研究是復幾何中十分重要的研究分支之一，不僅其本身是很基本的問題，重要的是對它的研究會涉及到許多高階Monge-Ampère 型方程,此類方程的研究難度大，理論還很不成熟，需要發展新的手段和方法。本項目擬在前期工作的基礎上開展以下方面的研究： (1)由於一致穩定性是Toric流形上的極值Kahler度量存在的必要條件,我們希望得到在一致穩定性的條件下高維Toric流形的各個余維數的邊界附近鄰域的正則性。這是證明光滑的極值Kahler度量存在性的關鍵一步。 (2)首先利用Calabi流來研究Toric曲面上的極值度量，考慮Calabi流在邊界附近的有限時間內的正則性。然後希望能對具有常數量曲率仿射Kahler曲面的刻畫，這一類曲面自然的出現在Toric曲面上的Calabi流的blow-up分析中。
結題摘要
項目的研究從以下四個方面： （A）極值Kahler 度量的研究是復幾何中重要的研究問題之一，不僅其本身是很基本的問題，而且其會涉及到許多高階Monge-Ampère型方程。我們將李安民和他的合作者在仿射幾何研究中發展的技巧和方法成功地套用到Toric流形，證明了二維情形的關於極值Kahler度量的Donaldson猜想。證明了一致穩定性是廣義Abreu方程可解的必要性條件，並在一致穩定性的條件下證明了廣義Abreu方程的內部正則性，導出了廣義Abreu方程一些估計；推導出了齊次Toric叢上的微分不等式；對纖維為二維Toric曲面的齊次Toric叢證明了Yau-Tian-Donaldson猜想。 （B）Calabi 流也是比較有效的尋找常數量曲率或者極值度量的工具。與人合作證明了證明了二維Toric曲面上的Calabi流的有限時間的內部正則性。 （C）一類四階完全非線性方程也自然的出現在幾何中，如仿射極大曲面方程和Abreu方程等。證明了Abreu方程在Ricci曲率有界的條件下的正則性定理。證明了一類四階非線性方程具有Bernstein性質。在適當的全局條件下具有負常仿射平均曲率的仿射完備局部強凸超曲面是一個雙曲仿射超球面。 項目組成員許瑞偉與人合作證明了相對法化下的拋物型仿射球的剛性問題。給出了推廣的Jorgens-Calabi-Pogorelov定理的相對簡單的證明；將n=1時對上述偏微分方程的整解進行分類。並對每個n≥2整個古典嚴格凸解，在f的Hessian滿足一定的衰減條件下，證明其是一個二次多項式。設u是定義在歐式空間中的凸函式，∇u的圖是類似與偽歐氏空間中給出的平均曲率流的孤立子具有未定的度量，許瑞偉與合作者得到Bernstein定理。 （D）量子上同調與Gromov-Witten不變數是當今國際上一個非常熱門的重要的研究方向。傳統的Gromov-Witten不變數的定義方式是利用緊化的J全純曲線模空間的拓撲相交理論來定義。基於李安民-阮勇斌的相對Gromov-Witten不變數的工作，與人合作對粘合參數的導數作出一個指數衰減的估計，將不變數定義為虛擬鄰域的top stratum上的瑕積分，證明了Gromov-Witten不變數瑕積分的收斂性。此方法避免了對lower strata鄰域的複雜描述，迴避了模空間在lower strata的光滑性的討論。
