《泊松幾何與量子化》是依託武漢大學，由洪偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：泊松幾何與量子化
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：洪偉
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
泊松幾何是現代微分幾何學的一個重要分支，它起源於經典力學，和現代數學物理中的眾多重要問題有著廣泛而深刻的聯繫。本項目以量子化為背景，研究泊松幾何中的若干問題，其中主要包括以下幾個方面：1. CP2和CP1 × CP1上的括展泊松結構和一般流形上的擴展辛結構。2. 泊松Del Pezzo曲面的非交換形變和量子化。3. Toric簇上的全純泊松結構和量子化。4. 泊松齊性空間上的泊松 sigma-模型和Dirac sigma-模型。
結題摘要
泊松幾何是近年來很活躍的一個領域。本項目主要研究泊松幾何中的兩類問題。一類問題是全純泊松流形及其泊松上同調群。另外一類問題是李雙代數的Atiyah類。 對於第一類問題，我們研究了環簇，Del Pezzo 曲面和復格拉斯曼流形上的全純泊松結構及其上同調。我們研究了光滑的環簇上的在T-作用下不變的一類全純泊松結構，我們稱之為全純的toric泊松結構。在$CP^n$和$C^n$的情形，我們給出了所有的toric泊松結構對應的泊松上同調群。在一般的情形，我們給出了緊緻光滑環簇上的全純多向量場的刻畫。在toric Fano流形的情形，我們給出了所有的toric泊松結構對應的泊松上同調群。在Del Pezzo曲面的情形，我們計算出了所有的泊松同調群。我們還對Del Pezzo曲面的泊松上同調群做了進一步研究，得到了一些結果。在復格拉斯曼流形上，有一類特殊的全純泊松結構-標準泊松結構。我們對其泊松上同調群進行了初步的研究。我們得到了$H^i(X,\wedge^j TX)=0, (i＞0)$。因此其泊松上同調群歸結為格拉斯曼流形上的全純多向量場的研究。我們對此已經有些想法，相關工作正在進行中。 對於第二類問題，我們研究了李雙代數的Atiyah類。Atiyah類最初是由M.F. Atiyah引進，用以刻畫全純向量叢上的全純聯絡存在性的障礙。近年來Atiyah class被大家推廣到各種情形。我們主要研究一類和李雙代數相關的Lie pair的Atiyah類。 我們給出了李雙代數對應的Atiyah類，它由$g$上以及$g^*$上的李代數結構決定。作為其推論，上邊緣李雙代數對應的Atiyah class為零。我們還給出了李雙代數的一階Scalar Atiyah class，它由李代數$g$的模向量和$g^*$上的李代數結構所決定。將這些結果用在Lu-Weinstein提出的李雙代數的情形，我們得出了其Atiyah class不為零。 還有很多有意思的問題有待研究，在接下來的幾年裡，我們還將繼續相關的研究。
