量子化微積分

量子化微積分是非交換幾何的一個概念。

基本介紹

• 中文名：量子化微積分
• 外文名：quantized calculus
• 所屬學科：非交換幾何

簡介

非交換幾何中的一個基礎的新觀念就是取代原有的微分與積分的新的微積分，即量子化微積分。

為得出新的微積分，給定二元組(H,F)，其中H為無窮維可分希爾伯特空間，F為滿足F=1的自伴運算元。給定F就相當於將H分解為兩個相互正交的閉子空間的直和{ξ∈H|Fξ=±ξ}。若假設兩個子空間均為無窮維，則所有這樣的對(H,F)均為酉等價。

與經典微積分的對應

與經典微積分的對應

經典微積分	量子化微積分
復變數	H的運算元
實變數	H的自伴運算元
無窮小	H的緊運算元
階為α的無窮小	H的緊運算元，特徵值μn=O(n)，n→∞
實、復變數的微分	df=[F,f]
階為1的無窮小的積分	迪斯米埃跡Trω(T)

復變數的範圍相當於運算元的譜。

實、復變數的微分df在微分幾何中的表達式為

從經典微積分到量子化微積分的對應相當於經典力學的泊松括弧到量子力學中的對易子。萊布尼茨法則d(fg)=(df)g+f(dg)依然存在，F=1證明df與F反對易。