《環面拓撲及其相關問題的研究》是依託復旦大學，由呂志擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：環面拓撲及其相關問題的研究
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：呂志
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
環面拓撲是近年來新出現的研究領域，直接涉及代數幾何、(辛)幾何、組合、代數等領域。本申請項目將以環面拓撲這個研究領域做為基本的研究平台，結合環面拓撲中存在的問題，研究拓撲學及數學中的一些重要和基本核心問題以及探討數學中不同領域在某些方面的本質關係及統一性，努力促進環面拓撲在深度和廣度兩方面的發展及其開展套用。研究內容具體包括： 1.等變配邊分類問題以及等變配邊環的計算 2.非自由軌道構形空間以及廣義構形空間的研究 3.群作用存在性問題。 4.群作用的分解性、多面體（模2-GKM圖）的分解性、以及多項式的分解性。 5.關於Smith問題的研究。
結題摘要
環面拓撲是近年來新出現的研究領域，直接涉及代數幾何、(辛)幾何、組合、代數等領域。本申請項目以環面拓撲這個研究領域做為基本的研究平台，研究拓撲學及數學中的一些重要和基本核心問題以及探討數學中不同領域在某些方面的本質關係及統一性。主要研究內容包括： 等變配邊分類問題； 非自由軌道構形空間以及廣義構形空間的研究；群作用存在性問題；群作用的分解性、多面體的分解性、以及多項式的分解性，以及Smith問題。獲得了如下重要結果： 證明了在作用群為環面群的情形下，等變酉配邊可由等變陳數完全決定，回答了Guillemin，Ginzburg，Karshon所提的猜想。 對Buchstanber-Panov-Ray所提的環面群表示何時為一個具有環面群作用的酉流形的不動點信息之問題給出了答案。結果是用局部化公式的方式描述出一個充分必要條件。 完全等變配邊分類了具有有效模2環面群作用且不動點為孤立點的光滑閉流形，與此同時回答了文章【Lü, Zhi, 2-torus manifolds, cobordism and small covers. Pacific J. Math.241 (2009), no. 2, 285–308】中所提猜測。 否定了Buchstanber-Panov-Ray的關於quasitoric流形的酉配邊和SU配邊一個猜想。 定義了orbit braid的概念，它與經典辮子有很大不同，且決定了兩根orbit辮子所決定的群。 研究了Stanley-Reisner面環中的基本對稱多項式的內蘊性質，揭示了多項式的分解性與多面體的分解性之間的一致性。給出了可用等變陳數來刻畫單凸多面體的分解性。 定義了外Stanley-Reisner面環，證明了在外Stanley-Reisner面環中最高階基本對稱多項式的分解性可刻劃出Buchstaber不變數為m-n的充要條件。 我們還在組合及復幾何中得到了套用：在組合方面，證明了一個n維單多面體P為n-colorable若且唯若P上的moment-angle流形的第n個等變陳類可分解為n個因子的乘積。更一般的，證明了一個n維單多面體P為L-colrable若且唯若P上的moment-angle流形的第n個等變陳類為L個2次類的第n個基本對稱多項式。在復幾何方面，刻畫出一個單多面體P上的quasitoric流形允許近復結構的一個充要條件。
