《環面拓撲中閉流形及矩角復形性質的研究》是依託河北師範大學，由王彥英擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：環面拓撲中閉流形及矩角復形性質的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王彥英
- 依託單位：河北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
受代數幾何中環面簇理論的影響, 近幾十年來，拓撲學中對變換群理論的研究，尤其是對環面作用的研究得以迅速發展。這一研究使拓撲學、組合數學、辛幾何、交換代數和同調代數等學科相互交叉,形成了一個新的研究方向- - -環面拓撲。環面拓撲研究帶環面作用的空間的拓撲性質,該作用的軌道空間有比較好的組合結構，這些組合信息可以幫助我們理解原來空間的拓撲和計算一些拓撲不變數。從這一角度出發，本項目擬開展以下兩類問題的研究：（1）給定一個單純復形或一個單純偏序集，可以聯繫帶環面（或2-環面）作用的矩角復形，從單純復形或單純偏序集的組合性質、代數性質或染色性質來研究與矩角復形相關的空間的性質。（2）對於帶2-環面作用且有特殊幾何特點的一些光滑閉流形，尤其是軌道空間組合結構比較複雜的小覆蓋，討論它們在一些等價關係（如等變協邊、等變同胚、D-J等價等）下的分類及類的個數計算問題等。
結題摘要
在拓撲變換群理論的研究中，環面作用的研究形成了環面拓撲，它使得拓撲學、組合數學、辛幾何、交換代數和同調代數等學科相互交叉。環面拓撲研究帶環面作用的空間的拓撲性質，在許多情況下，通過作用的軌道空間或不動點集的信息來理解原空間的拓撲性質是有效的方法，而軌道空間或不動點集的良好結構對於計算拓撲不變數也有很好地幫助。本項目基於上述思想方法，深入研究了具有2-環面作用的閉流形在一些等價關係下的分類及類的個數計算問題等。同時也討論了與單純偏序集S相聯繫的空間DJ(S)的性質。已發表和接受的主要結果如下： 小覆蓋是一類重要的帶有2-環面作用的閉流形，當軌道空間為平面多邊形和兩個單形的乘積時，我們決定了它上的可定向小覆蓋的等變同胚分類，並藉助於歐拉函式給出了計算等變同胚類個數較複雜的遞推公式。在此基礎上，考慮了軌道空間為任意固定的簡單凸多胞形與n維單形的乘積時，小覆蓋的D-J等價分類，此時我們視n為變數，得到了一個重要結果：該類乘積空間上小覆蓋的D-J等價類的個數作為變數n的函式一定是變數2n的多項式。這一結果的重要意義在於提供了計算等價類個數的新方法，即只要給定有限個數據點，利用多項式插值的方法就完全可以決定該函式, 這是本項目的一個創新點。對於該類乘積空間上可定向小覆蓋我們也證明了類似的結果。為了弄清楚其上可定向與未定向小覆蓋的等價類個數變化的差別，我們證明了在變數n取奇數趨於無窮時，兩者之比趨於一個非零的固定常數，而在變數n取偶數趨於無窮時，兩者之比趨於零。作為該結果的套用，我們利用多項式插值的新方法計算了一類小覆蓋等價類的個數，推廣了前人的結果。 從作用的不動點集與流形的關係作為出發點，我們給出了幾類閉流形的等變協邊分類。當考慮對合的不動點集為偶數維實射影空間與Dold 流形P(2m, 2n+1)的不交並時，首先證明了該種作用的存在性，然後在一定條件下得到了只有兩個等變協邊類。我們還考慮了其它兩種情況，結果發現只有一類。
