《黎曼流形上曲率流的幾何性質及套用》是依託中山大學，由顧會玲擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：黎曼流形上曲率流的幾何性質及套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：顧會玲
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在微分幾何中，怎樣了解給定的流形的幾何和拓撲,尤其是低維流形的幾何和拓撲，一直是一個重要的問題。至今為止，對流形的幾何和拓撲的關係的研究還遠未完成。 近三十年來，研究這個問題的一個強有力的工具就是曲率流。用曲率流來研究流形的幾何性質，在微分幾何的蓬勃發展中起了非常重要的作用，是一個國際熱點,也是微分幾何中的一個基本重要的理論。曲率流理論中的一個關鍵問題就是怎樣了解奇點的結構，而了解奇點的結構又取決於對soliton的了解程度，所以對soliton的了解對了解流形的結構是十分重要的。在本項目中，我們將研究曲率流下流形的奇點結構問題和soliton的分類問題，並且根據所得到的結果研究流形的幾何和拓撲的關係，從而得到在某些曲率條件下的流形的分類。
結題摘要
在該項目中，項目組成員基本圍繞項目申請書的主要內容，並按照項目申請書中的工作計畫有效地開展了研究工作，對項目申請書中提出的問題開展了有效的系統的研究。根據國際上的最新進展，我們還組織討論班系統學習了曲率流理論，充分研究了在曲率流下流形的變化情況，並且已經取得了一定的成果。具體如下：（1）復幾何方面：我們將廣義Frankel猜想進行了推廣，利用Ricci流，得到了在正交的全純雙截面曲率條件下的Kahler流形的完全分類，並且給出了廣義Frankel猜想一個完全分析的證明，這也完全回答了莫毅明在他的文章中所提出的問題。該結果發表在Science in China Math.，2010.05.（2）實幾何方面：我們利用Yamabe流，在Ricci曲率條件下，給出了一個微分球定理，得到了一種新的Bonnet-Myers型結果。 該結果發表在 Acta.Math.Sci, 2010.5.（3）極小子流形方面：我們研究了單位球面中具有常平均曲率的閉超曲面，計算得到了第二基本形式的一個新的等式， 並且利用該等式去得到了一個關於該曲面的新的gap定理。這個結果推廣了Cheng Q.M他們的結果，發表在Glasgow Math. J. 2012.1。在這方面，我們還得到了S^5(1)中的具有常數量曲率的Willmore極小超曲面的一個結果。這個結果體現在我們的文章 Closed Willmore minimal hypersurfaces with constant scalar curvature in S^5(1) are isoparametric (submitted)中。（4）Soliton方面：我們構造了廣義Ricci流下的canonical soliton。Perelman的構造中是需要到無窮維，而我們的構造只需要有限維數。這個結果體現在我們的文章Canonical solitons associated to generalized Ricci flows（Accepted）中。
