截面曲率

截面曲率(是)亦稱黎曼曲率，在黎曼幾何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一種方式，也是曲面高斯曲率的推廣。

基本介紹

• 中文名：截面曲率
• 外文名：sectional curvature
• 領域：數理科學
• 別稱：黎曼曲率
• 套用：黎曼幾何

簡介

截面曲率 依賴於 點的切空間裡的一個二維平面 。它就定義為該截面，考慮在p點以平面 作為切平面的曲面 ，這曲面是收集流形中某包含 的鄰域內從p點出發的測地線且這測地線在 點的切向量屬於截面 （換句話說就是其中 是 里包含原點的鄰域）_，而截面曲率 就是曲面 在 點的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2維格拉斯曼纖維叢的光滑實值函式。

截面曲率完全決定了曲率張量，是非常有用的幾何概念。

定義

設為黎曼流形， 為上點處切空間中的二維平面，和為 中兩個線性無關的向量。 則關於的截面曲率定義為：

其中是的黎曼曲率張量。

常截面曲率流形

常截面曲率的黎曼流形是最簡單的類型。它們稱為空間形式。通過縮放度量，它們有三種情況：

1) 負曲率−1，雙曲幾何；

2) 零曲率，歐幾里得幾何；

3) 正曲率+1，橢圓幾何。

三類幾何的模型流形分別是雙曲空間，歐幾里得空間和單位球面。它們是對於這些給定的截面曲率唯一可能的完備單連通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它們在某個等距映射群下的商。

性質

1. 完備黎曼空間有非負的截面曲率，若且唯若函式對於所有點p是一個1-凹函式。

2. 一個完備單連通黎曼流形有非正截面曲率，若且唯若函式是1-凸函式。

相關擴展

• 黎曼曲率張量
  
• 黎曼流形的曲率
  
• 曲率