與Alexandrov幾何相關的一些基本問題

《與Alexandrov幾何相關的一些基本問題》是依託北京師範大學，由王雨生擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：與Alexandrov幾何相關的一些基本問題
• 依託單位：北京師範大學
• 項目負責人：王雨生
• 項目類別：面上項目

項目摘要

Alexandrov幾何在微分幾何中發揮的作用越來越大(被套用於解決Poincaré猜想)，因而越來越受到大家的重視。基於此，本項目主要從如下幾個大致方向對與Alexandrov幾何相關的問題展開研究：1. 2維的Alexandrov幾何(面積比較和Gauss-Bonnet公式)；2. 曲率大於或等於1的Alexandrov空間上的子集（包含有關 \pi/2-分離子集和Join的模空間問題）；3. Alexandrov幾何中的Soul 猜想；4. Alexandrov幾何中的邊界（包含邊界猜想）；5. Alexandrov幾何中的擬測地線；6. Alexandrov幾何中的極值子集；7. Alexandrov幾何在黎曼幾何中的套用（主要是有關非負截面曲率流形基本群的問題）。該項目已經有了紮實的研究基礎，因此可行性很大。

結題摘要

本項目主要圍繞曲率具有下界的 Alexandrov 幾何中一些基本和重要的問題展開研究，比如：曲率大於或等於1的Alexandrov空間上重要子集的性質以及這種空間中Join的模空間結構問題；Alexandrov幾何中的Soul 猜想；Alexandrov幾何中的邊界問題； Alexandrov幾何中極值子集的相關問題。該結題報告主要對取得的科研成果進行報告，將分已經發表，已經完成未發表和正在完成的科研成果來報告對該項目的完成情況。 在已經發表的科研成果中，最為具有代表意義的有兩項工作。一個是對曲率大於或等於1的Alexandrov空間中\pi/2-分離子集元素個數上界估計做了一個重要的補充工作，並得到了相應的剛性結果。另外一個是利用基本的方法得到了一個等距的復射影空間定理。 在已經完成未發表的工作中，一項重要的工作是證明了4維情形時Alexandrov幾何中的Soul 猜想，這可以說是在該項目執行期間得到的最為重要的科研成果。另一項重要的工作是對曲率大於或等於1的Alexandrov空間中Join的有限模空間結構完成了分類刻畫，這項工作不僅對解決4維情形時Alexandrov幾何中的Soul 猜想提供了良好的研究基礎，而且還有希望開闢一個新的研究方向。還有，我們得到了Alexandrov幾何中Toponogov定理的一個新而又容易理解的證明。 在正在完成的工作中，我們發現了曲率具有下界的 Alexandrov 幾何中比極值子集更為適合刻畫Alexandrov 幾何與黎曼幾何異同的概念——擬凸子集，我們已經對這種子集有了很好的研究和刻畫，而且相信這是非常值得研究的一類子集。 總而言之，在該項目的資助之下，我們近四年內在Alexandrov 幾何上的研究取得了一定的科研成果（得到了同行專家們的認可），也衍生了一些有意義的新問題。雖然該項目期限已到，我們會將繼續研究該項目未完成的和衍生出的問題。最後衷心感謝國家自然科學基金委對我們科研工作的大力支持。