Alexandrov 空間上的幾何分析

《Alexandrov 空間上的幾何分析》是依託中山大學，由朱熹平擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：Alexandrov 空間上的幾何分析
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：朱熹平
• 依託單位：中山大學

中文摘要

本項目研究Alexandrov空間幾何。Alexandrov空間是允許存在奇異集的.幾何對象。傳統上，Alexandrov空間幾何屬於比較幾何的範疇。現有的大部分研究均利用公理化和比較幾何的手段。在本項目中我們提出以分析為主要手段研究Alexandrov空間幾何。我們擬研究Alexandrov空間Ricci曲率的幾何含義；擬建立Alexandrov空間上的Hodge理論；擬展開Alexandrov空間上非線性偏微分方程的研究；試圖給出三維Alexandrov空間的幾何和拓撲分類。

結題摘要

本項目主要研究 Alexandrov 空間上，以及更一般度量測度空間上的的幾何分析。Alexandrov 空間是一個不光滑的幾何研究對象。由於丘成桐，蕭蔭堂，Gromov 等人的工作，發現調和映射理論在數學中的極大套用。Gromov-Schoen發展了一個從光滑流形到非正曲 Alexandrov 空間的調和映射理論。 1997年，林芳華和 Jost 獨立地開展了 Alexandrov 空間之間的調和映射研究，並證明從曲率有下界Alexandrov空間到非正曲率 Alexandrov空間的能量極小映射具有Holder正則性。據此，林芳華提出猜測：從曲率有下界 Alexandrov 空間到非正曲率 Alexandrov 空間的能量極小映射具有局部 Lipschitz 正則性。在本項目中，我們完全證明了這一猜測。熱流是最基本的幾何分析對象之一。在最近10年以來，由於 Sturm, Lott-Villani等人的先驅性的工作, 使得在度量空間上，幾何分析成為一個研究熱點。許多經典的光滑流形上的結果，在非光滑空間上多有推廣。我們在非光滑度量空間上的熱流的研究，取得了進展。另一方面，在本項目的資助下，我們團隊也展開對 Einstein 場方程的研究。 Einstein 場方程是廣義相對論中用來描述時空演化的基本方程。在2008年，Christodoulou 首先用嚴格的分析的辦法證明了在真空 Einstein 場方程的演化中，陷俘面能夠從不含任何陷俘面的特徵初值上形成。陷俘面是廣義相對論的一個重要的概念，Penrose 奇點定理保證了陷俘面的存在會導致時空出現奇點。本項目負責人的一名博士生黎俊彬與人合作在《Ann. of Math.》發表文章證明了陷俘面能夠從不含任何陷俘面的柯西初值演化出來。宇宙監督假設猜想是數學廣義相對論中的最重要問題之一，粗略來說，它保證所有的奇點都會隱藏在黑洞中。這個問題可以轉化為研究類光無窮遠的完備性。我們獲得對類光無窮遠開性的證明。