《Alexandrov 幾何中的若干問題及非負截面曲率流形的基本群》是依託北京師範大學，由王雨生擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Alexandrov 幾何中的若干問題及非負截面曲率流形的基本群
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：王雨生
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在近二十年內，Alexandrov幾何結合Gromov-Hausdorff收斂理論在微分幾何中發揮了巨大的作用（套用於解決Poincaré猜想），進而越來越受到幾何學家的關注，而且成為公認的新而有力的工具。本項目主要從下面三個部分展開研究工作。1、與Alexandrov幾何相關的問題：受Toponogov比較定理啟發的面積比較問題；2、Alexandrov幾何中的問題：曲率有下界的Alexandrov空間間的幾乎等距、淹沒問題，平行移動和第二變分公式問題，邊界猜想問題；3、Alexandrov幾何的套用（一個主要的新工具是Alexandrov空間上的的半凹函式及其梯度）：研究關於具有非負截面曲率流形的基本群的猜想。其中有些問題已經部分解決，本項目的可行性很大。
結題摘要
本項目的一個重要背景是在近二十年內，Alexandrov幾何結合Gromov-Hausdorff 收斂理論在微分幾何中發揮了巨大的作用（套用於解決Poincaré猜想），進而越來越多的幾何學家對其加以關注和研究。本項目主要圍繞Alexandrov 幾何從與Alexandrov幾何相關的問題、Alexandrov幾何中的基本問題、Alexandrov幾何的套用這三部分入手展開研究。雖然有些目標沒有實現，但可喜的是我們取得了一定的科研成果，這些成果有些已經被知名的數學雜誌發表，比如Math. Ann., Comm. Cont. Math., Asian J. Math.等。下面我們列舉幾個我們取得的重要成果。1、受Toponogov比較定理及對Alexandrov幾何研究的啟發，我們給出了一個面積比較定理（成果1）；2、我們給Burago-Gromov-Perel’man 關於曲率有下界的Alexandrov空間的奠基性文章中一個重要定理的證明找到了一個漏洞，並給出了新的證明（成果2）；3、我們證明了曲率具有下界的Alexandrov空間中基本而又重要的例子—Cone、Suspension及Join —在分割為兩個曲率有同樣下界的Alexandrov空間時，這種分割是可以嚴格分類的（成果4）；4、我們發現在曲率下界為1的Alexandrov空間中，\pi/2 分離子集的信息可帶來有趣的幾何剛性性質（成果5）；5、我們證明了在曲率下界為1的Alexandrov空間M中如果有兩個無邊的完備局部凸子集滿足維數之和比M的維數少1，而且這兩個子集間點點間的距離都為\pi/2，那么M必然是由某個Join模掉一個有限等距群而得來（成果6）。這些結果都是較為有趣的，而且在得到這些成果的研究過程之中我們找到了一些新的研究方向，為下一步的研究工作打下了堅實的基礎。
