《Alexandrov空間等變的穩定性定理及其在塌陷理論中的套用》是依託天津理工大學，由蔡青松擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Alexandrov空間等變的穩定性定理及其在塌陷理論中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：蔡青松
- 依託單位：天津理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目計畫研究黎曼流形等變收斂到Alexandrov空間的群作用穩定性，並將其套用到黎曼流形曲率有下界的塌陷理論中。近年來，黎曼幾何中的收斂與塌陷理論已經成為研究流形結構強有力的工具。在曲率兩邊有界的情形，該理論在黎曼流形的拓撲分類中起到了重要作用。故建立曲率有下界的塌陷理論，也會成為研究曲率有下界流形的拓撲的重要工具，從而具有重要的理論意義和套用前景。本人曾在曲率有界時冪零結構的塌陷方面做了一些工作，在此基礎上將繼續研究曲率有下界塌陷時冪零結構的存在性。研究如下問題：1.研究黎曼流形保持曲率有下界塌縮時對稱結構的存在性，如研究幾乎非負曲率流形上冪零結構的存在性；2.研究黎曼流形等變收斂到Alexandrov的群作用穩定性，如推廣覆蓋空間方法以及對拉迴環面軌道做微擾；3.研究一些滿足特殊條件的黎曼流形保持曲率有下界的塌陷，如具有叢結構的流形上的塌縮構造，以及黎曼流形保持正曲率塌縮的條件。
結題摘要
塌陷理論研究一列黎曼流形滿足截曲率的有界性條件，且在Gromov-Hausdorff意義下收斂到極限Alexandrov空間X。若X的維數小於流形的維數，則稱這列流形是塌陷的。塌陷理論主要研究塌陷流形的幾何與拓撲結構之間的關係。研究內容為收斂與塌陷理論的以下三個問題： 1、保持曲率有下界塌陷的黎曼流形上對稱結構的存在性。首先，本人研究了黎曼流形以及極限空間上的等距群作用理論。同時，自2012年到2015年本人和同行討論、學習了一些李群、李代數的知識。 為解決問題（1）中拉回群作用的軌道平均問題，我研究了問題： 2、黎曼流形等變收斂到Alexandrov空間的群作用穩定性問題，如質心方法對軌道微擾的套用，覆蓋空間方法的推廣等。 首先，我研究了Alexandrov空間在GH-收斂時弱strainer的穩定性。其次，本人研究了解了幾類質心構造方法以及覆蓋空間方法。再者，我也研究了度量空間上的一些分析工具。在此基礎上，我研究了以下推廣的塌陷理論問題： 3、一些滿足特殊條件的黎曼流形上保持曲率有下界的塌縮。首先，我研究了極限空間上類似於纖維化結構，如submetry映射的幾何。其次，我研究了Cheeger-Colding理論，以及廣義Ricci曲率的定義。再者，從2015年至今，本人還參加討論班，與同行討論、學習了一些辛幾何的知識。我的研究成果主要為以下兩方面：第一，我研究了Alexandrov空間一些幾何結構的穩定性。我定義了Alexandrov空間上弱的strainer，並利用半凹函式以及收斂理論的工具，證明了具有幾乎最大間距弱strainer的Alexandrov空間幾何等距於球面，這推廣了Alexandrov空間的幾乎等距球定理。另外，我還給出了Alexandrov空間在一點處正則性的三個等價條件。以上結果已被SCI期刊《Indiana University Mathematics Journal》錄用待發表。第二，我給出了Alexandrov空間的幾乎等距球定理的一個新的證明。以上結果已整理成文，投在國際期刊，目前在審。以上結果對於進一步研究黎曼流形曲率有下界塌陷極限空間上的幾何與分析工具，從而對研究塌陷流形上的對稱結構存在性提供了重要的基礎性工作。
