《Alexandrov空間上的半凹函式及其在塌陷理論中的套用》是依託天津理工大學，由蔡青松擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：Alexandrov空間上的半凹函式及其在塌陷理論中的套用
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：蔡青松
- 依託單位：天津理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目計畫研究Alexandrov空間上的半凹函式等工具，並將其套用到黎曼幾何中曲率有下界的塌陷理論中去。近年來，黎曼幾何中的收斂與塌陷理論已經成為研究流形結構強有力的工具，而曲率有下界的塌陷理論還遠未完善。我們通過對Alexandrov幾何半凹函式的基礎性理論研究，將為初步建立曲率有下界的塌陷理論提供重要工具，具有重要的理論意義和套用前景。我們研究如下三個問題：（1）運用Alexandrov空間研究曲率有下界的塌陷理論中的一些問題，如塌陷流形上冪零結構的存在性。（2）研究等變收斂到Alexandrov空間的穩定性問題，如等變收斂理論中的覆蓋空間方法、質心方法等。（3）Alexandrov空間上半凹函式中的問題，如黎曼流形中半凹函式水平集。
結題摘要
項目以Alexandrov空間中一些未解決的問題為導向，綜合運用等變收斂與塌陷理論，Alexandrov空間上的分析等工具，初步建立曲率只有下界的塌陷理論。 具體研究內容為：（1）運用Alexandrov空間理論來研究黎曼流形曲率有下界的塌陷理論中的一些問題。（2）研究等變收斂到Alexandrov空間的穩定性問題，如等變收斂理論中的覆蓋空間方法、質心方法等。（3）與Alexandrov空間上半凹函式有關的問題。 我們的研究方法是，首先研究黎曼流形上等變的收斂與塌陷理論的工具，與這些工具在收斂與塌陷理論中的一些套用；並研究黎曼流形在某些特殊定義的度量下保持曲率有下界的塌陷。 我們的研究結果如下： 首先，我們研究了曲率有下界的塌陷理論的問題(1)，即黎曼流形上黎曼淹沒度量的塌陷，得到了黎曼流形上的黎曼淹沒度量的典則變分保持曲率有下界塌陷所滿足的等價幾何條件，故問題(1)在這種情況下也得到了初步解答。 其次，關於問題(2)，研究了等變收斂理論中的覆蓋空間方法，並套用該工具構造了一些黎曼流形的覆蓋空間。覆蓋空間方法是從一個偽作用出發構造一個具有群作用的度量空間的方法。我們對於黎曼流形的有界連通開子集或局部緊的長度空間這兩類偽作用，分別運用覆蓋空間方法給出了相應的覆蓋空間。另外，我們還給出了兩個第一類偽作用的例子。其中，在滿足直徑、曲率條件的黎曼流形的例子中，我們運用指數提升鄰域中的距離函式的半凹性質，驗證了它滿足第一類偽群作用的條件。這也是問題(3)的一個特殊情況。從而問題(2), (3)得到了初步解決。以上結果為研究黎曼流形曲率有下界的等變塌陷理論提供了良好的工具。 下一步我們計畫繼續研究黎曼流形等變收斂時的穩定性，以及Alexandrov空間上的分析工具，並套用在研究黎曼流形曲率有下界塌陷理論中。 對於曲率有下界塌陷的黎曼流形上T結構或冪零結構的存在性，由於極限Alexandrov空間上具有對稱結構，即極限李群作用，我們只需證明這個同胚映射與群作用在弱的意義下共軛，即保持環作用軌道。因此進一步研究度量空間上共軛群作用的質心方法將會給這項研究提供重要幫助。 另外，覆蓋空間方法以及度量空間上的分析工具對於研究曲率有下界的塌陷也會有重要作用。
