《亞力山大空間及度量幾何相關的一些問題》是依託南京大學，由梅加強擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：亞力山大空間及度量幾何相關的一些問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：梅加強
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
整體黎曼幾何以及Ricci 曲率流在近年來的發展使得Alexandrov 空間的研究變得十分重要。對Alexandrov 空間各種性質的了解將會加深人們對於黎曼流形本身的認識。..本項目將利用距離函式的臨界點理論以及半凹函式的梯度流並結合帶有奇性的微分方程等工具去研究Alexandrov 空間的幾何與分析性質，討論它們對於黎曼流形的幾何與拓撲性質的套用。本項目的主要研究內容為：..1. 曲率有下界的Alexandrov 空間上的靈魂（Soul）定理；.2. Alexandrov 空間和黎曼流形的Lipschitz 穩定性；.3. 半凹函式的梯度流與坍縮流形的拓撲性質；.4. Alexandrov 空間上調和函式和調和映照的局部形態。
結題摘要
近年來, 帶有奇性的空間, 例如Alexandrov空間上的幾何分析發展很快。研究此類空間的一個基本方法是考察它上面的自然函式（距離函式）的行為。在Alexandrov空間上，距離函式是半凹函式，它們對獲取空間的幾何與拓撲性質起到了總要作用。同樣的方法亦可以用來研究光滑黎曼流形。 最近，人們對幾何流的興趣也很大。幾何流常用來研究流形上典則度量的存在性。對於流來說，一個基本的量就是熵，比如經典的Boltzmann-Shannon熵以及更近一段時期Perelman對Ricci流定義的熵。研究流的另一基本工具是Harnack不等式。 在本項目中，我們研究如下課題：1、通過凸性研究Alexandrov空間或光滑流形的幾何拓撲性質；2、在Lipschitz映射下Alexandrov空間的穩定性質；3、Kahler 流形上典則度量相關的問題；4、一般幾何流中的熵和Harnack不等式。 我們獲得了如下主要結果： 1、在非正曲率完備流形上，我們證明單射半徑函式是Lipschitz函式；更一般地，在曲率有上界的完備流形上，我們證明單射半徑函式基本上是Lipschitz的。 2、我們得到了只依賴於局部單射半徑和局部曲率的凸半徑估計，這給出了經典的Whitehead關於凸鄰域定理的精確局部版本。 3、我們將Perelman的穩定性定理推廣到了一類 e^ε-Lipschitz 和co-Lipschitz映射，作為套用我們得到了關於一列ε-黎曼淹沒的穩定性結果。 4、我們在具有爆破點的Kahler曲面上證明了經典Futaki不變數的展開公式，這解釋了Arezzo-Pacard的平衡條件。 5、我們對緊Kahler流形上一般Kahler類中K-能量的逆緊性給出了判別條件。 6、我們在環流形上研究了J-流的長時間行為。通過引入轉移映射得到了J-流的半線性拋物系統，並對轉移映射證明了一些基本的估計。 7、對一般流形上的演化方程，我們對其共軛熱方程決定了經典Boltzmann-Shannon的前兩個導數，熵的單調性對許多重要的流形類都成立。 8、對於非線性倒退熱方程，我們推導了幾種微分Harnack估計。我們的抽象敘述對許多已知結果提供了統一框架，並進一步對一些幾何流得到了新的Harnack不等式。
