非正曲率流形上的有界調和函式

《非正曲率流形上的有界調和函式》是依託復旦大學，由丁青擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非正曲率流形上的有界調和函式
• 依託單位：復旦大學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：丁青

項目摘要

非正曲率的完備單連通的黎曼流形上有界調和函式的存在性問題是整體微分幾何和幾何分析研究中一個倍受人們關注的問題（參見S.T. Yau於1993年提出的第二個120問題集中的第47問題[1](文獻在項目的立項依據中所列)），這既是探究這類流形（包括複流形）幾何性質的一種重要的手段，也與復幾何中的一些基本問題密切相關。本項目擬在申請人就這一問題的研究所取得一定進展（參見[9](在立項依據中所列)）的基礎上，作進一步的探索和研究，以期在該問題及有關問題的研究上能夠取得更大的突破，並且也嘗試把這種探索和研究推廣到某種Alexandrov空間。

結題摘要

完備單連通且曲率介於負常數之間的流形上的（調和函式）Martin表示公式早已被Anderson和Schoen得到，這一公式揭示了在這些流形上函式理論和幾何之間相互滲透影響的深刻關係，雖然當流形的曲率是非正且不能介於負常數之間時，這種關係會變得異常的複雜，但我們仍然試圖把研究拓展到這種情形。一個關鍵的想法是通過測地線的性質引人極小几何邊界的概念，使得當曲率介於負常數之間時，極小几何邊界就回到通常的幾何邊界；在適當的幾何條件下建立極小几何邊界附近的無窮遠的Harnack不等式後，我們證明極小几何邊界是極小Martin邊界（的一部分），從而在極小几何邊界上建立了（調和函式）Martin表示公式，而由Martin表示公式可直接得到非平凡有界調和函式的存在性。所得結果包含有界對稱域上調和函式的Poisson積分公式和Anderson和Schoen的Martin表示公式。