Alexandrov空間上的Ricci曲率

《Alexandrov空間上的Ricci曲率》是依託中山大學，由張會春擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：Alexandrov空間上的Ricci曲率
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張會春
• 依託單位：中山大學

中文摘要

本項目將深入研究Alexandrov空間上一個幾何定義的Ricci曲率下界。Alexandrov空間是允許存在奇異集的幾何對象。這個幾何定義的Ricci曲率下界是由本項目申請者和朱熹平教授聯合給出，並且我們已經得到一些它的幾何與分析推論。本項目中，我們將主要套用分析手段去深入研究它的基本性質和所蘊含的幾何推論。我們擬研究如下問題： （1）這個新定義的Ricci曲率下界是否等價於Sturm-Lott-Villani所定義的曲率-維數條件；（2）完備非緊Alexandrov空間上熱方程的Li-Yau估計；（3）Alexandrov空間上Levy-Gromov等周不等式； （4）Alexandrov空間之間的調和映射的Lipschitz連續性問題。

結題摘要

自上世紀90年代初，丘成桐，蕭蔭堂，Gromov等發現可以利用調和映射理論來研究李群表示的超剛性（superrigidity）問題。特別地，為了研究秩1半單李群上p-adic超剛性問題，Gromov-Schoen發展了一個從光滑流形到非正曲率Alexandrov空間的調和映射理論。 1997年，林芳華和Jost獨立地開展了Alexandrov空間之間的調和映射研究，並證明從曲率有下界Alexandrov空間到非正曲率Alexandrov空間的能量極小映射具有Holder正則性。據此，林芳華提出猜測：從曲率有下界Alexandrov空間到非正曲率Alexandrov空間的能量極小映射具有局部 Lipschitz 正則性。我和朱熹平教授一起完全證明了這一猜測。 熱流是最基本的幾何分析對象之一。在最近10年以來，由於 Sturm, Lott-Villani 等人的先驅性的工作, 使得在度量空間上，幾何分析成為一個研究熱點。許多經典的光滑流形上的結果，在非光滑空間上多有推廣。我們在非光滑度量空間上的熱流的研究，取得了進展。