《Alexandrov空間和度量測度空間中拋物型偏微分方程的研究》是依託華中師範大學，由鄭高峰擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Alexandrov空間和度量測度空間中拋物型偏微分方程的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：鄭高峰
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
曲率是微分幾何學中最為重要的概念,它有助於了解流形的幾何和拓撲性質。最近有人把曲率的概念從光滑的Riemann流形推廣到更一般的空間上出。Sturm和Lott-Villani同時在度量測度空間上上提出了Ricci曲率有下界 的概念。本項目主要研究Ricci曲率有下界的度量測度空間或Alexandrov空間中的偏微分方程或者梯度流的解的存在性、唯一性、穩定性或者解的定量性質。這些研究不僅涉及數學內部的不等式、幾何、非線性偏微分方程、動力系統等等，而且在統計物理、生物系統等領域中可以找到套用。因此，我們的研究，既能豐富偏微分方程和度量幾何理論，又能促進其它數學分支和套用分支的發展，因而無論從理論上講還是從套用上講都是十分有意義的。
結題摘要
本項目研究了一些度量測度空間上的偏微分方程的解存在性和性態。在考慮介觀尺度下的電磁場現象時，我們考慮二維平面上的非線性Maxwell方程，證明了奇異解在奇點附近的上下界並得到了奇異解在一定條件下的分類定理，證明了整體解和奇異整體解的存在性，並分析了它們的振盪性和解的長時間行為。研究了一個半線性拋物型偏微分方程Quenching 問題的二分性。我們還考慮三維及以上維數的空間中有界光滑區域上的帶有臨界Sobolev臨界指數的半線性拋物方程Dirichlet邊值問題爆破解的漸近行為。我們研究了調和Ricci流可延拓的充分條件。利用Blow-Up技巧我們證明了在Ricci曲率一致有界的條件下，調和Ricci流可繼續向後延拓。研究了Ricci流的約化熵。引入了非緊流形上的加權的前向約化體積，並證明了加權的前向約化體積在Ricci流下是單調下降的且與Ricci流的expanding soliton密切相關。研究了平均曲率流中的Huisken泛函在極小曲面上的漸進性質，證明了 Huisken泛函在極小曲面上的極限就是極小曲面的外在漸進體積。研究了漸進平坦的非緊黎曼流形上Yamabe流和ADM質量的關係，證明了Yamabe流下黎曼流形的漸進平坦性是保持的，而且ADM質量在Yamabe流下是單調下降的。得到了具有CD(n-1,n)的n維Alexandrov 空間上的Bishop體積比較定理； 將G. Perelman關於具有正Ricci下界以及幾乎最大體積Riemannian流形的拓撲剛性定理推廣到了Alexandrov空間。這些問題都在理論上有重要的意義。
