《各向異性曲率流與Alexandrov-Fenchel不等式》是依託廈門大學，由夏超擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：各向異性曲率流與Alexandrov-Fenchel不等式
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：夏超
- 依託單位：廈門大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
幾何流和幾何不等式是幾何分析中的兩個核心問題。本項目將對各向異性曲率流和Alexandrov-Fenchel不等式展開研究。各向異性曲率流可以看成是有限維賦范空間中超曲面的曲率流，它來源於帶有不同界面結構的多相熱力學中界面的演化的物理背景，也與凸體理論中的混合體積密切相關。Alexandrov-Fenchel不等式是凸體理論中的核心不等式之一。本項目擬研究如下問題：.1.完全非線性各向異性曲率流與逆各向異性曲率流的存在收斂性；.2.歐式空間星形k凸超曲面的各向異性Alexandrov-Fenchel不等式；.3.非歐空間形式中凸超曲面的Alexandrov-Fenchel不等式。.本項目所使用方法主要是完全非線性拋物型偏微分方程理論以及利用幾何流的收斂性證明幾何不等式的方法。各向異性將會造成技術上的困難，尤其出現在偏微分方程的先驗估計。
結題摘要
幾何流和幾何不等式是幾何分析中的兩個核心問題。本項目對各向異性曲率流，超曲面的Alexandrov-Fenchel不等式展開研究。各向異性曲率流可以看成是有限維賦范空間中超曲面的曲率流，它來源於帶有不同界面結構的多相熱力學中界面的演化的物理背景，也與凸體理論中的混合體積密切相關。Alexandrov-Fenchel不等式是凸體理論中的核心不等式之一 。本項目對此課題取得以下成果： 1.在各向異性曲率流方面，證明了逆平均曲率流在初始曲面星形及平均凸條件下的長時間存在與收斂性，也證明了逆高階齊次曲率流在初始曲面凸條件下的長時間存在與收斂性，並利用這些結論證明了平均凸條件下的各向異性Minkowski不等式。 2. 在幾何不等式方面，與合作者建立了一類帶權重的Reilly型公式、一個各向異性ABP估計、以及Hessian方程經典Neumann問題的存在性。利用這些工具證明了諸如Minkowski不等式、Alexandrov-Fenchel不等式、Heintze-Karcher不等式等。其中帶權重的Reilly型公式已被套用到靜態流形的準局部能量的定義以及二階變分的正性的證明過程中。 3. 與合作者考慮了L^p Christoffel-Minkowski問題，證明了在預定函式滿足偶函式及一定凸性條件下的存在性與正則性結果。
