《正截面曲率1/2最大半徑球上的微分結構和幾何剛性》是依託首都師範大學，由胥世成擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：正截面曲率1/2最大半徑球上的微分結構和幾何剛性
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：胥世成
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將深入研究正截面曲率1/2最大半徑球上的微分結構和幾何剛性。當一個完備的黎曼流形M滿足截面曲率大於等於1，直徑大於π/2時，由直徑球定理可知，M同胚於球。M上是否容許有非標準的微分結構，是一個幾十年來未被解決的公開問題。本項目將圍繞該問題，從一個新的角度出發，以比較幾何和度量幾何為主並嘗試結合幾何分析、微分拓撲中成熟的技術手段，對更特殊的1/2最大半徑球的幾何剛性和微分同胚穩定性開展研究。主要的研究思路，是基於我們之前關於Alexandrov空間的研究工作和最近關於黎曼流形上共軛割點和閉測地線的一個新觀察提出的。我們擬研究如下問題：（1）1/2最大半徑球上關於共軛點的幾何剛性；（2）1/2最大半徑球上共軛點在Gromov-Hausdorff拓撲下的收斂性；（3）1/2最大半徑球在Gromov-Hausdorff拓撲下的微分同胚穩定性（等價於微分結構的唯一性）。
結題摘要
如果一個完備的n維黎曼流形M的截面曲率大於等於1, 而且能覆蓋整個流形的測地球的最小半徑大於π/2, 則由Grove-Shiohama的最大直徑球定理可知, M同胚於標準球, 我們稱其為一個1/2最大半徑球。當流形M的Ricci曲率大於等於(n-1)時，當流形的體積接近於n維標準球面的體積，或者第n+1特徵值接近於n維標準球面的體積時，又Colding和Petersen的結論，流形的半徑會接近於π。Colding證明了此時M一定微分同胚於球，並且在幾何上，M與標準球的度量是Gromov-Hausdorff接近的。本項目計畫研究主要內容之一是，在第一共軛點有一定限制的情況下，研究1/2最大半徑球上面容許的微分結構和幾何剛性問題。由於Ricci曲率有下界的空間形式微分結構與幾何剛性問題，與本項目密切相關，我們也進行了這方面的研究。 通過該項目的開展，我們取得的主要結果如下： 1. 研究了一般黎曼流形上第一共軛點和測地線的性質, 加強了 Innami-Shiohama-Soga 的主要定理 和Klingenberg的經典結論。作為套用，得到黎曼流形上的局部單射半徑 Lipschitz 衰減的 sharp 估計和局部凸半徑 sharp 估計, 改進了經典的 Whitehead 定理和梅加強的最近結果。 2. 證明了如果一個完備黎曼流形M上每一點的第一共軛軌跡是一個點, 則M等距於常正曲率空間形式. 作為推論, 如果1/2最大半徑球M上每一點的第一共軛軌跡都是一個點, 則M等距於常正曲率的標準球. 這個結論從本質上改進了Xia的結論，並推廣了Berger-Kazdan-Yang的Wiedersehen球定理。基於此，我們提出了下面的猜想：如果1/2最大半徑球M上每一點的第一共軛軌跡的直徑都很小，則M微分同胚於常正曲率的標準球. 3. 證明了 Ricci 曲率有一致負下界、直徑有一致上界, 體積熵幾乎極大時的黎曼流形一定微分同胚於雙曲流形, 這解決了 2011 年 F. Ledrappier-X. Wang 提出的一個公開問題。證明了在萬有覆疊空間非坍縮的條件, 或Ricci 曲率兩邊有界的條件下, 具有幾乎極大回卷體積的黎曼流形一定微分同胚於空間形式, 推廣並在一定意義下改進了 Cheeger-Colding-Perelman 的體積幾乎極大微分球定理。
