《奇性空間上的幾何分析》是依託復旦大學，由華波波擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：奇性空間上的幾何分析
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：華波波
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的內容是研究奇性空間（即不光滑度量空間）上的分析。由於非光滑幾何理論和實際套用的需要，奇性空間上的分析日趨重要。我們用幾何分析的方法研究奇性空間，試圖找出光滑黎曼流形和奇性空間上分析性質的相似和區別。我們關注兩類奇性空間：有廣義曲率的測度度量空間以及離散空間（也叫做圖）。我們試圖在奇性空間上發展橢圓型方程理論，如泊松方程的W^{1,p}估計、ABP估計等；套用新證明的Bochner公式，嘗試證明Jost猜想：從廣義Ricci曲率空間出發到CAT(0)空間（即廣義截面曲率非正的空間）的調和映照是Lipschitz連續的。在圖上，我們研究各種曲率條件下的體積倍增條件和Poincare不等式，從而證明多項式增長調和函式的Yau猜想；考察圖上新的熱核Davies估計的套用和Lp譜論。本項目的目的是進一步深入理解奇性空間上的非光滑分析。
結題摘要
本項目主要研究奇性空間(即不光滑度量空間)上的分析，包括測度度量空間和離散空間上的幾何分析相關問題，主要涉及Laplace運算元的相關性質，包括調和函式、熱核、運算元譜、調和映照、隨機完備性等。取得的研究成果主要包括：1.2017年Math. Ann.的文章中我們證明了圖上連續時間熱核最優的Davies估計。2.2017年Adv. Math.的文章中證明了Bakry-Emery曲率有一致下界的圖的隨機完備性。3.2017年Calc.Var. PDE的文章中，定義了圖上的Steklov特徵值問題，並利用等周型常數給出了第一非零特徵值的估計。通過該項目的研究，我們將幾何分析的方法套用到不光滑的空間上，加深了對奇性空間的理解。
