《帶奇性的希格斯叢及其模空間》是依託華南理工大學，由張瑋擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：帶奇性的希格斯叢及其模空間
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張瑋
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
根據Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理，全純向量叢是否有厄米特楊-米爾斯聯絡，也就是厄米特愛因斯坦度量，歸結為該向量叢是否具有多重穩定性，這便是著名的Hitchin-Kobayashi對應。同時具有穩定性的全體向量叢可以構成較好的模空間，是一個有限維的復概型。希格斯叢是向量叢外加一個希格斯向量場，它有與普通的向量叢類似，但更為豐富的性質，與表示論，數論，理論物理中的弦理論都有著密切的聯繫。特別是隨著最近吳寶珠證明了有限域上Langlands對偶中的基本引理，Higgs叢又成為了研究的熱點。我們著重研究複數域上的希格斯叢的相關性質，主要有：當底流形具有一定的奇性時，其上希格斯層的Hitchin-Kobayashi對應及其構成的模空間的性質，此時可以通過奇點消解將問題提升到光滑流形上的拋物希格斯叢上；以及穩定希格斯叢模空間的奇性，我們希望局部用有奇性的超凱勒環簇來刻畫。
結題摘要
根據Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理，全純向量叢是否有厄米特楊-米爾斯聯絡，也就是厄米特愛因斯坦度量，歸結為該向量叢是否具有多重穩定性，這便是著名的Hitchin-Kobayashi對應。同時具有穩定性的全體向量叢可以構成較好的模空間，是一個有限維的復概型。希格斯叢是向量叢外加一個希格斯向量場，它有與普通的向量叢類似，但更為豐富的性質，與表示論，數論，理論物理中的弦理論都有著密切的聯繫。本項目主要研究了兩方面內容，一是關於扭曲希格斯叢模空間的分層結構，二是拋物向量叢以及拋物希格斯叢相關的分析性質。其中，第二部分的研究有一定的難度，目前還在進行中。具體來說，1、考察扭曲希格斯對在楊-米爾斯流下的極限，利用Morse理論的研究方法，我們知道扭曲希格斯叢的模空間上有一個層化(stratification)結構。同時，在代數幾何方面，我們知道，任給一個扭曲希格斯叢，也可以給出它的Harder-Narasimhan-Seshadri篩選(filtration)，而這一篩選也會誘導出模空間上的層化結構。我們證明了這兩種層化結構實際上是一致的。所得成果已經寫成論文：Convergence of Yang-Mills-Higgs flow for twist Higgs pairs on Riemann surfaces，發表在《中國科學——數學》雜誌，第57期: 1657–1670頁，2014年。2、我們也試圖證明拋物向量叢的模空間由楊-米爾斯流和Harder-Narasimhan-Seshadri篩選導出的分層結構是一致的。拋物結構本質上是一個奇點附近增長率的條件，此時底流形實際上是非緊的，分析的難度遠遠高於普通的向量叢。我們現在計畫在加權索伯列夫空間這一框架下來考慮特定一類拋物方程解的存在性和唯一性。該分析問題有著不小的難度，學術界還沒有系統的研究。但它在鏡對稱以及特殊拉格朗日子流形等重要的領域都有現實或者潛在的套用，有著重要的意義。
