莫爾斯理論

莫爾斯理論(Morse theory)是微分拓撲學中利用微分流形上僅具非退化臨界點的實值可微函式(稱為莫爾斯函式)研究所給流形性質的分支。它是H.M.莫爾斯在20世紀30年代創立的。

基本介紹

• 中文名：莫爾斯理論
• 外文名：Morse theory
• 領域：數學
• 學科：微分拓撲學
• 創立者：H.M.莫爾斯
• 目的：研究所給流形性質

概念

莫爾斯理論是微分拓撲學中利用微分流形上僅具非退化臨界點的實值可微函式(稱為莫爾斯函式)研究所給流形性質的分支。它是H.M.莫爾斯在20世紀30年代創立的。由莫爾斯理論得知 ，微分流形與其上的光滑函式緊密相關，利用光滑函式不僅能研究微分流形的局部性質，而且某些光滑函式例如莫爾斯函式包含了刻劃流形整體性質的豐富信息。莫爾斯理論主要分兩部分，一是臨界點理論，一是它在大範圍變分問題上的套用。

詳細介紹

莫爾斯理論是研究可微流形M上定義的可微實函式f的性質與流形M的拓撲與幾何性質相互關係的數學分支。給定拓撲空間X與其上的連續實函式f，則稱定義了變分問題(X，f).大範圍變分法即是對於給出的變分問題(X，f)，以函式f的性質與空間X的性質之間的關係作為研究對象的數學分支。在套用上重要的變分問題有：

1.與可微函式f有關的問題；

2.與由道路構成的空間Ω上的能量函式E有關的問題。

其中特別是問題2是以黎曼流形上的測地線理論為基礎，因而是以普通的變分法為其分析學基礎的。問題1和2是由龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)與伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)所開創，莫爾斯(Morse，H.M.)把它們發展成近代的樣子，即莫爾斯理論。繼莫爾斯以後，柳斯捷爾尼克(Люстерник，Л.А.)和施尼雷爾曼(Шнирельман，Л.Г.)開闢了另一條估計臨界點個數的途徑，即利用疇數來估計流形上函式的臨界點。而斯梅爾(Smale，S.)把莫爾斯理論中梯度向量場零點的問題推廣為流形M上一般向量場的零點問題，從而導致維數n≥5情形廣義龐加萊猜測的解決，這是微分拓撲中的一個重大成就。

其次，由於測地線問題是一維變分問題，故可使得無限維空間Ω上的問題，化為有限維流形上的臨界點問題。但是對於多維變分問題，無法做到這一點，這就使得發展無限維流形上的莫爾斯理論成為需要。總之，近年來莫爾斯理論被進一步推廣和精密化，並套用於微分拓撲、微分幾何、偏微分方程、楊-米爾斯方程等各個數學領域而取得重要的結果。

微分拓撲學

研究微分流形在微分同胚映射下不變的性質的科學。它的研究對象是微分流形 (有時是帶邊流形) 和這樣的流形之間的可微映射。

這門學科的主要任務，首先是闡明流形的拓撲結構和組合結構，同時如同拓撲學把研究連續映射作為重要問題之一，微分拓撲學也把研究可微映射作為重要的課題。它研究的中心問題如下面所列：

微分同胚問題： 判斷兩個微分流形是否微分同胚。配邊問題： 給一個光滑緊緻無邊的微分流形，判斷它是否為某帶邊微分流形的邊界。微分嵌入問題：給兩個微分流形M和N，M是否可以光滑地嵌入N。莫爾斯理論： 藉助於微分流形上光滑映射的臨界點來研究流形的整體性質。奇點理論： 關於可微映射臨界點局部結構的研究，它們的等價分類問題。微分動力體系： 關於單參數微分同胚群整體軌道結構的研究。參數空間G=R時，即常微分方程定性理論的研究。

從歷史上看，微分流形的概念及其拓撲結構的研究，應追溯到19世紀末年龐加萊的工作，他套用代數拓撲的工具，對低維流形進行了研究，並提出了著名的龐加萊猜想：“每個單連通的不帶邊的緊三維流形同胚於三維球S。”此猜想至今未徹底解決。由於當時數學工具的限制，微分流形的拓撲研究一直未取得突破性的進展。直到1936年惠特尼(Whituey) 的嵌入定理，凱恩斯 (S. S.Cairns)證明了微分流形的可剖分性，以及莫爾斯(Morse)理論的產生，伴隨著代數拓撲中纖維叢、示性類以及同倫論的研究方面的進展，使微分流形的拓撲結構、組合結構及微分結構的研究，以及浸入、嵌入和微分同胚分類問題的研究出現了飛躍的發展，產生了 “微分拓撲學”這一新興的學科。

微分流形

設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(U_α，Ф_α)|α∈P}是它的地圖，如果{U_α|α∈P}是M的開覆蓋，Ф_α是從U_α到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(U_α，Φ_α)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (U_α，Ф_α)，(Uβ，Φ_β) 滿足U_α∩U_β≠Φ，則稱Φ_β·Ф_α：Φ_α(U_α∩U_β) →Φ_β(U_α∩U_β) 和Φ_α·Φ_β： Φβ(U_α∩U_β) →Ф_α (U_α∩U_β) 為U_α∩U_β上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(U_α，Φ_α) ∈A，坐標變換Φ·Φ_α Φ_α·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的坐標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。

從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標變換貼上在一起。

兩個C流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的坐標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V，φ)，使得f(U)⊂V，同時，映射φ°f°Φ_-1：Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。

C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。

(M，A)是C微分流形，A是C結構，若1≤r≤s≤∞，則A中包含M的C結構A′。且此Cs微分結構A′在相差一個C微分同胚的意義下是唯一的，此時我們稱A與A′相容。此結果歸功於惠特尼。同樣，一個C結構也允許相容的實解析結構。這就是說當1≤r<s≤∞時C流形與C流形無本質區別，特別地C流形與C流形無本質區別。但如果我們把不存在微分結構的拓撲流形稱為C流形，則C流形與C流形有本質區別。存在不允許任何微分結構的拓撲流形，這樣的流形維數最小是四維，已經知道的例子是八維的。

一個拓撲流形M如果存在兩個C微分結構A與A′，使微分流形(M，A)與(M，A′)不是C微分同胚的，則稱A與A′相異。米爾諾(Milnor)證明七維球S存在多個相異的C微分結構。這種與普通球S同胚，但不是C微分同胚的C微分流形稱之為怪球。在討論這類問題過程中的一個重要有趣的問題是：“一個光滑流形M，使得M-{P}可縮，其中P是M中任一點，能否引出M同胚於一個球?”對於M的維數n，當n=0，1，2時，M微分同胚於n維球S;當n=3時，歸結為龐加萊猜想;n=4時也未解決;n≥5時，問題結論成立。

人物簡介——莫爾斯

美國數學家。1892年3月24日生於緬因，1977年6月22日卒於普林斯頓。1915年和1917年獲哈佛大學碩士和博士學位。1920-1925年任教於康奈爾大學;1925-1926年和1926-1935年分別執教於布朗大學和哈佛大學，後任普林斯頓高級研究所數學教授，1962年退休。1932年被選為美國全國科學院院士。1964年獲美國國家科學獎章。

莫爾斯

莫爾斯的貢獻主要在大範圍變分法領域。受龐加萊和G·伯克霍夫影響較大並繼承了他們在三體問題等方面的研究。他發現了每一個三重可微函式是非退化的或可用非退化函式任意逼近的。他把拓撲和分析用一種新的方法結合了起來。20世紀20年代，他考察了非退化函式的臨界點的性態與緊流形的拓撲結構的聯繫，建立了非退化臨界點理論，把流形上光滑函式的臨界點的指數與流形的貝蒂數聯繫起來，發展成了大範圍變分法。他1934年出版的《大範圍變分法》(The Calculus of Variationsin the Large)為後來發展成的莫爾斯理論提供了基礎，其中著名的莫爾斯不等式就是他本人給出的。現在在大範圍變分法中還有臨界點的莫爾斯指數。此外，他對測線、動力學和微分拓撲等都進行過研究。另外還著有《單複變函數論中的拓撲方法》(Topological Methods in the Theory of Functions of a Complex Variable，1947)、《大範圍分析引論》(Introduction to Analysis in theLarge，1947)、《整體分析與微分拓撲中的臨界點理論》(Critical Point Theory in GlobalAnalysis and Differential Topology. An Introduction， 1969，與他人合作)和《整體變分分析：外爾斯特拉斯積分與黎曼流形》(Global Variational Analysis： Weierstrass Integrals and a Riemannian Manifold，1976)等。江澤涵在哈佛大學就讀時曾受莫爾斯指導和影響。