若干幾何熱流的幾何分析問題的研究

《若干幾何熱流的幾何分析問題的研究》是依託華東師範大學，由鄭宇擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：若干幾何熱流的幾何分析問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：鄭宇
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

鑒於幾何發展方程在幾何、拓撲及物理等學科方向重要的研究作用，本項目將在已完成的項目研究基礎上，主要圍繞Ricci曲率流、超曲面流及一種由A.Fisher提出的新型的所謂共形Ricci曲率流等幾何熱流，開展如下幾方面問題的研究與探索：.在關於Ricci曲率流方面，將著重在包括諸如解的爆破與解的曲率能量關係的估計，解的關於曲率的不變性與套用、解的奇異性研究及相關的包括Ricci孤立子及古典解等特殊解的幾何與分析問題的深入研究。.在關於超曲面流方面，將著重在關於包括Gauss曲率流在內的一般超曲面流的收斂性分析及上述關於Ricci曲率流問題的研究在包括平均曲率流等方面的推廣及套用的深入研究。.在關於一種新型的共形Ricci曲率流方面，將著重在關於解的存在性、奇異性、 收斂性，與Yamabe 不變數間的關係及解與ADM質量之間的關係等方面進行研究與探索。

結題摘要

根據研究計畫，本課題組首先在關於Hamilton的Ricci曲率流方面已在以往研究成果的基礎上發現了對於黎曼流形上一種介於Hamilton的正曲率運算元及Wilking的2-正曲率運算元之間的更為一般的不變性現象即$\lambda$-正曲率運算元的不變性，進而一方面得出相應的極大 值原理，又基於此新的不變凸性發現其在關於Ricci 曲率流的微分Harnack微分不等式方面具有新的推廣與套用；其次，在關於歐式空間中超曲面曲率流方程研究方面，區別於以往常見的關於曲面流在演化過程中已有的包括凸性及收斂於一圓點特性等事實，我們已發現相當一大類的超曲面流具有與上述事實相反的結果， 包括即使初始曲面是一致凸的或光滑的，仍會發生在演化中曲面變得非凸的或曲率在某處變得無窮大而產生奇異性。同時還有一些曲面流在初始曲面具有奇異性或非一致凸性部分時，此區域的上述 特性在演化過程中仍保持不變， 進而最終收斂到一段線段乃至更高維的圓盤而非圓點；另外，在關於共形Ricci曲率流（CRF）的研究方面，針對A.Fisher所提出的曲率流CRF，我們已在緊緻及漸進平坦流形上得出了包括關於解的短時存在性、緊緻流形上Yamabe常數的單調遞增性及漸進平坦流形上ADM質量的梯度流即為此CRF流等系列成果，進而給出了著名的正質量猜想證明中關於剛性結果的新的部分的另外一種新的證明等系列成果。 最後，在其他方面主要是圍繞著 Bakry-Emery 曲率有界條件，研究了關於完備非緊測度空間上包括特徵值估計、熱核估計及關於此類空間的端的個數估計等幾何分析結構等方面的問題及套用等獲得了新的進展，推廣了相關以往他人的研究結果。