《調和映射熱流中的若干問題》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由劉清越擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：調和映射熱流中的若干問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉清越
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
幾何流無疑是當今幾何分析領域中最前沿的方向之一。本項目主要研究調和映射熱流的正則性、收斂性及其在極小曲面中的套用。對一般的目標流形，如何得到二維調和映射熱流的一致收斂性是一個困難的問題，我們預期能得到一些新的結果，並將其套用於尋找一般流形中的極小球面，甚至希望用於研究著名的辛同痕問題。我們同時研究調和映射熱流與其他幾何流的耦合，重點是高虧格曲面上調和共形流的長時間存在性和收斂性，特別是在負曲率目標流形的情形。目前以熱方程來尋找一般流形上的極小曲面的主要方法是平均曲率流，而我們所研究的調和共形流是不同於平均曲率流的新的方法。相對來說，奇點分析更為簡單，也能給出更多的信息。我們也將用Navier-Stokes方程中的技巧來研究高維調和映射熱流的正則性，特別是極小爆破解的存在性問題。目前為止，用這種技巧來討論調和映射熱流正則性的結果還非常之少。
結題摘要
調和映射，極小曲面及其相關的幾何流是幾何分析中重要的研究方向。本項目主要研究了二維調和映射熱流的一致收斂性以及調和共形流的短時存在性和長時間存在性。對於從二維球面出發到具有非負雙全純截面曲率的Kahler流形的調和映射熱流，我們證明：對於能量密度一致有界且反全純能量足夠小的初值映射，其相應的調和映射熱流長時間光滑存在，且一致（指數）收斂到一個全純映射。我們也研究了從一般高虧格曲面出發的調和共形流。對於非正曲率的目標流形，藉助於源流形面元不變的特性，我們得到了映射和度量的各階導數在有限時刻的有界性，進而得到該流的長時間存在性。以上結果對於用熱流方法尋找極小曲面有一定的意義。
