《外雙調和熱流弱解非唯一性及部分正則性》是依託深圳大學，由龔華均擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：外雙調和熱流弱解非唯一性及部分正則性
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：龔華均
- 依託單位：深圳大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
雙調和映射(分為內雙調和映射和外雙調和映射)及其相關問題，已經成為數學的一個研究熱點。本項目主要研究外雙調和熱流。具體來說，研究5維及5維以上外雙調和映射熱流弱解的非唯一性、部分正則性及4維古典解爆破問題。首先，用時間差分法構造出5維及5維以上外雙調和熱流弱解序列，證明存在初值使得此弱解序列收斂到一個時間依賴的解，而對於任意非時間依賴的外雙調和映射，也是外雙調和熱流弱解，這樣我們就得到了弱解的非唯一性。其次，通過把外雙調和熱流方程右端項改寫成散度形式與反對稱形式之和，通過這兩類特殊的結構，藉助Littlewood-Paley分解(可能)，運用能量估計及高階方程性質，得到 C.B.Morrey 衰減性估計，從而得到正則性。最後，證明 4 維外雙調和熱流經典解的爆破性，並估計解的爆破階數。本項目研究將為4階拋物方程注入新的活力，也有助於我們了解許多模空間的幾何與拓撲結構。
結題摘要
雙調和映射及其相關問題已經成為數學的一個研究熱點。本項目研究外雙調和熱流的非唯一性和部分正則性及雙調和熱流在液晶Ericksen-Leslie模型中的套用（該問題在項目申請書摘要未寫，在申請書內容中有詳細寫）。就外雙調和映射熱流的非唯一性及部分正則性，仍在尋找有效替代比較原理或能量單調的方法。就雙調和熱流在液晶中的套用，我們借用雙調和熱流，證明了帶有高階項及帶有Leslie張量的液晶Ericksen-Leslie模型，初始密度含有真空的柯西問題的局部強解的存在唯一性，藉助特殊的雙調和熱流—調和熱流，我們證明了簡化液晶Ericksen-Leslie模型的弱解的非唯一性，亦得到了液晶Q-張量模型的劉維爾定理及NSPNP模型的部分正則性。
