《拋物和橢圓型方程和方程組的若干問題》是依託北京交通大學，由鄭神州擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：拋物和橢圓型方程和方程組的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：鄭神州
- 依託單位：北京交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在主項係數滿足VMO正則或部分VMO正則下,研究自由項在Hardy空間、Lorentz空間、Zygmund函式類的拋物和橢圓型方程及方程組的先驗估計和可解性,並考慮各種增長下的非線性問題的混合範數估計、加權範數的Lp估計以及可解性理論; 在主項係數滿足更高的部分正則性下,研究拋物和橢圓方程的Schauder估計及相應的可解性. 研究拋物和橢圓方程的Green函式性質,套用其在正則性問題和奇點附近的漸進分析. 研究幾何偏微分方程的集中緊性現象、Blow-up分析、Bubbling分析和能量量子化; 研究p-調和映射和重調和映射的熱流在Serrin型條件下的凸不等式、唯一性和Blow-up性態; 探索液晶Ossen-Frank模型和Landau-de Gennes模型的數學內涵. 該項目將在很大程度上豐富了偏微分方程和幾何分析領域的理論和研究技術.
結題摘要
本項目主要研究內容及重要成果如下: 1. 拓展了偏微分方程研究包含Calderón-Zygmund理論作為特例的Lorentz空間正則性理論，包含散度型和非散度型、線性和非線性、一致和退化的橢圓和拋物問題和相關的障礙問題、漸進正則問題，以及各向異性的變指數增長橢圓、拋物問題以及(p,q)-增長的雙相問題的正則性。2. 研究了有著彈性力學、圖像重建、分層材料和磁流體動力系統實際背景的複雜偏微分方程問題，建立了已知數據在極弱條件下的橢圓和拋物問題整體Calderón-Zygmund型理論。對線性方程: 研究主項係數是部分正則、區域幾何結構不很規則的散度型方程在Orlicz、 Lorentz空間以及變指數次冪函式空間的正則性。對擬線性和完全非線性橢圓和拋物方程：研究弱條件下弱解、強解和粘性解的Lorentz正則性理論等。(3) 考慮幾何偏微分方程所涉及的特殊函式構成比值的各種性質，證實了Baricz關於修正Bessel函式商的嚴格對數凸性的猜想, 也解決了Hornik和Grün涉及特殊函式的公開問題。(4) 建立到緊Riemann流形的p-調和映射和多重調和映射的緊性、Blow-up分析，對於退化次橢圓p-Laplace型方程, 建立低於臨界增長下的Schauder估計和Morrey正則性。(5) 建立各種情況下各向異性的泛函和相關橢圓方程及其障礙問題的弱解和很弱解有界性和最優可積性分類的已知數據正則的充分條件。 項目的研究成果極為豐富，在國內、外知名的重要期刊上發表論文45篇。這不僅按期完成了課題的預期目標, 還極大地拓展了項目研究的廣度和深度。作為本研究產生的關聯NFSC-ERC項目，訪問西班牙巴斯克套用數學中心(BCAM)；同時，課題的實施過程中培養該研究方向的一批博士和碩士研究生。
