《複合材料中的橢圓和拋物方程》是依託北京師範大學，由保繼光擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：複合材料中的橢圓和拋物方程
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：保繼光
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
研究複合材料中填充物之間的電場是否可以任意大，對應於一類具有不連續主部係數的散度型橢圓方程和拋物方程的梯度估計。近十年來，與之相關的理論研究和數值分析已經或正在成為國際數學界的熱點。.項目組將在申請人和主要成員已有工作的基礎上，充分地利用國際合作的有利條件，綜合地運用偏微分方程的基本理論，特別是調和分析方法、複分析方法、能量方法、數值方法等手段，建立該類橢圓方程解的最優梯度估計（明顯依賴方程的橢圓係數或填充物之間的距離），研究解的高階導數估計，並將上述估計擴展到相應的拋物問題。在此基礎上完成向更一般偏微分方程（組）的各種推廣。
結題摘要
本項目組在來自複合材料的一類具有不連續係數的散度型橢圓方程和方程組解的梯度估計、Hessian方程外問題解的存在性和漸近性以及平均曲率流方程解的漸近性等方面取得一系列重要進展，在《Calc. Var. Partial Differential Equations》、《J. Funct. Anal.》、《Commun. Contemp. Math.》、《J. Differential Equations》等高水平國際SCI期刊發表論文31篇，被《Trans. Amer. Math. Soc.》接受發表1篇，另外已完成並投稿論文5篇，順利完成了研究計畫。 （a）保繼光與熊金鋼合作研究了來自滲流問題的帶有分片係數的散度型橢圓方程組，利用Campanato-John-Nirenberg 空間，將BMO空間， Dini空間和 Hölder空間的估計統一起來，建立了這類帶有分片係數方程組解的最優正則性。（b）受複合材料問題中方程係數往往是分片光滑的這一主要特點的影響，李海剛和王長友合作將這一特點推廣到了調和映照問題，他們研究了上下半球的度量分別Hölder連續的單位球 上的穩態調和映照的部分正則性。（c）李海剛與李岩岩等人合作建立了在區域上橢圓方程組解的梯度估計，證明了解的梯度關於子區域之間距離的一致有界性和關於到中心距離的指數衰減性。（d）最近，保繼光與李海剛、李岩岩合作解決了帶有部分無窮係數的二維Lamé方程組的梯度估計問題，建立方程組解的梯度大小與子區域之間距離\epsilon的依賴性，並且得到其爆破速度就是\epsilon^{-1/2} ，這與已知的方程情形的最佳估計是一致的。
