《幾何、物理中的橢圓拋物方程》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由吉敏擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：幾何、物理中的橢圓拋物方程
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：吉敏
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究球面上數曲率的共形實現，這是一個典型的幾何問題，一些與之相關其它問題，雖然所對應的方程是不同的但背後卻隱藏著共通的分析和拓撲上的困難；研究具有強烈幾何與物理背景的共振方程及其Projective Dirichlet邊值問題，這是申請人最近提出的被證明是適定的一個新的邊界條件（而眾所周知Dirichlet條件對共振方程是不適定的）；研究來自隨機微分方程的Fokker-Planck方程及其穩態方程解的存在性，特別是當擴散係數趨於0時解的緊性和收斂性質，這不僅可以了解相應隨機微分方程的隨機擴散過程，而且是研究常微方程組不變測度（及不變集）隨機穩定性十分關鍵的基礎。
結題摘要
本項目主要研究了來自隨機微分方程的Fokker-Planck方程，以及一類退化橢圓方程解的分類。在JFA等雜誌發表文章6篇(其中一篇為接受)。 一．常微分方程加上噪音擾動，即得到一個Ito型隨機微分方程，而隨機微分方程的解之機率分布的研究則歸結為相應的Fokker-Planck方程。我們研究了具有弱正則性係數的Fokker-Planck方程，主要在下面三方面取得進展。（1）穩態解的研究：在之前對Fokker-Planck方程穩態解的研究基礎上，我們進一步研究了當噪音擾動趨於0時穩態解的緊性和集中性態，由此獲得了關於常微方程不變集及不變測度的隨機穩定性（和不穩定性）結果。（2）整體機率解的研究：關於Fokker-Planck方程整體機率解的存在性，唯一性，以及長時間解的極限行為，我們通過建立更加精細的先驗估計，在邊界附近的Lyapunov-like條件下，證明了解的存在唯一性；在Lyapunov條件下，證明了當時間趨於無窮大時任何整體解都收斂到其唯一的穩態解。（3）周期問題的研究：對於係數為時間周期的Fokker-Planck方程，弱正則係數是一個公認的難點。其實，對周期問題，即使在方程係數具有良好的正則性情形，也只有有限的關於周期機率解存在性的零散結果，而關於周期機率解的唯一性、整體解長時間漸近穩定性，以及噪音係數消失時周期解的極限形態等問題，其結果幾乎空白。 我們在係數僅具有弱正則性的情形，不僅對非退化和退化方程，均建立了關於周期機率解的系統的存在性結果，並且對周期機率解的唯一性、噪音係數消失時的極限形態，以及整體解的長時間漸近穩定性等三大類問題，均得到了系統的結果。 二．研究了上半空間與一類退化橢圓運算元相關的齊次方程和臨界指數方程。對齊次方程的各種邊值問題，證明了Liouville定理；對臨界指數方程，證明了正解的對稱性、唯一性，並且在某些特殊情形給出了解的清晰表達。前者可以更好地理解延拓問題（例如分式拉普拉斯運算元的延拓）中的卷積核，後者導出加權Sobolev不等式中的最佳常數。
