《與圖像處理相關的幾何熱流問題及其套用》是依託華東師範大學，由沈純理擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：與圖像處理相關的幾何熱流問題及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：沈純理
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的主要研究目標是：以幾何分析中的熱方法為研究手段，對黎曼流形中的一些幾何熱流進行深入研究，從而揭示出流形的曲率條件與拓撲結構之間的相互關係。與此同時，在幾何熱流的研究架構下，著重研究如何將曲率流、Yamabe 流、Beltrami流、Ricci流等一些重要的幾何熱流套用於圖像處理的問題，以達到將抽象數學理論實實在在地套用於國民經濟的目的。作為具體的套用對象，我們將以腦部醫學圖像和遙感圖像的研究為套用背景，系統地研究與圖像處理相關的系列算法，如圖像去燥、去模糊、圖像分割、圖像修補、圖像校正、圖像融合、圖像序列分析等。希望能提供一系列的圖像處理、分析與計算的方法，編制有一定實用價值的套用軟體，建立一個在此領域有一定影響的、能夠解決一些實際問題的研究隊伍。在提出行之有效的圖像處理數學模型的同時，我們將注重這些實際課題在數學上的嚴密性，要研究相應的熱流方程的解的存在性、唯一性和穩定性等理論。
結題摘要
本項目以幾何分析中的熱方法為研究手段，對黎曼流形中的一些幾何熱流進行了深入的研究，從而揭示出流形的曲率條件與拓撲結構之間的相互關係。與此同時，在幾何熱流的框架下，著重研究如何將曲率流、Yamabe 流、Beltrami流、Ricci流等一些重要的幾何熱流套用於圖像處理的實際問題。我們以腦部醫學圖像和遙感圖像的研究為套用背景，系統地研究了與圖像處理相關的系列算法，如圖像去噪、去模糊、圖像分割、圖像修補、圖像校正、圖像融合、圖像序列分析等, 提供了一系列的圖像處理、分析與計算的方法，編制了有一定實用價值的套用軟體，建立了一個在此領域有一定影響的、能夠解決實際問題的研究隊伍。在提出行之有效的圖像處理數學模型的同時，我們還注重這些實際課題在數學上的嚴密性，研究了相應的熱流方程的解的存在性、唯一性和穩定性等理論。 本項目是按計畫順利地完成了任務。主要成果為： (1) 黎曼流形上的幾何變分問題、曲率流的研究。 近年來，擬Einstein度量是幾何分析中重要的研究對象之一。我們得到了緊緻以及完備非緊流形上擬Einstein度量的剛性結果，完成了緊緻流形上擬Einstein度量的完整分類，證明了完備非緊流形上擬Einstein度量數量曲率的下界估計，得到了與梯度Ricci孤立子的數量曲率下界估計相平行的結果。我們討論了各種熱方程的解在度量固定或者度量隨著Ricci流演化的情況下的梯度估計或者是熵的單調公式。 (2) 幾何變分問題、曲率流在數字圖像處理中的套用。 我們在運用李群李代數理論去處理兩組點雲之間的配準方面, 及運用變分方法去處理多頻道遙感圖像之間的融合問題上取得了優良的結果. 在數字圖像輪廓提取方面，我們改進了被廣泛使用的 Chan-Vese 模型，使之適用於對SAR衛星圖像中特定目標的有效快速提取，並研究了圖像中紋理特徵的提取方法. 對圖像中多類對象的分類問題方面，運用區域的識別函式及成員函式的思想,構造了一種新型泛函，並用幾何變分的方法提出了一種有效的快速分類的方法. 在描述空間曲面的帶噪點雲的去噪方面，我們根據點雲的離散數據，利用微分幾何的方法求出了曲面的主曲率及主方向，提出了一種新型有效的點雲去噪方法. 在圖像的去噪、去模糊、去紋理和缺損圖像的填補方面，我們運用了變分方法取得了系列成果.
