次黎曼幾何的曲率型不變數的研究

《次黎曼幾何的曲率型不變數的研究》是依託天津大學，由李成博擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：次黎曼幾何的曲率型不變數的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：李成博
• 依託單位：天津大學

項目摘要

大約二十年前，前蘇聯最優控制學派A.Agrachev等利用控制論的方法引入Jacobi曲線的概念，作為Jacobi方程在非完整幾何（包括次黎曼幾何）的推廣。在本項目中，我們利用Jacobi曲線的方法，在我們前期工作的基礎上，研究次黎曼幾何的曲率型不變數及相關的問題。首先,我們計畫研究楊-米爾斯場上的次黎曼結構的曲率型不變數，並將其用底黎曼流形的黎曼曲率和楊-米爾斯場的曲率形式表示出來。然後，根據黎曼曲率和曲率形式的上界和下界，我們建立次黎曼測地線的共軛點個數的比較定理。我們並把所得結果與經典的楊-米爾斯場的幾何理論進行比較。最後，我們研究次黎曼流形的廣義Ricci曲率下界的性質(稱為測度緊縮性質)，這是度量測度空間理論裡面的熱點問題之一。我們期待本項目的研究成果會成為次黎曼幾何的曲率及相關研究的重要組成部分。

結題摘要

本項目以項目負責人的博士階段的工作為基礎. 通過與博士生導師德州農工大學Igor Zelenko教授和香港中文大學Paul Lee教授的合作，主要是利用Jacobi曲線來構造次黎曼結構的曲率型不變數並且研究各種的套用。這是黎曼幾何中的Jacobi方程的推廣。經過合理地計算，我們能夠給出這些曲率型不變數的表達形式，特別是在Sasakian流形的情況下，該表達形式簡潔而且與Sasakian流形本身的幾何量有簡單直接的聯繫。 本項目的主要研究內容和重要結果可以概括如下。第一，我們進一步研究了主G-叢上的次黎曼結構和自然動力系統的曲率型不變數，探索了其表達式和主G-叢的幾何結構的聯繫。第二，我們給出了Sasakian流形上的次黎曼結構的Ricci曲率的表達式從而給出了一個Ricci曲率下界，這個結果大大推廣了Heisenberg群上的已知結論，也為後期進行更一般的次黎曼結構的Ricci曲率下界的研究打下了基礎。同時，利用Ricci曲率下界，我們還得到了諸如龐加萊不等式之類的幾何結論。第三，我們發展了一套利用好的坐標架來簡化曲率型不變數的計算的方法，如果與不用坐標架的計算方法相結合，可以相當準確地給出曲率型不變數的表達式，從而建立了多種比較定理。 本項目的科學意義可以歸納如下：當我們把次黎曼流形的曲率型不變數表達出來後，就可以據此研究次黎曼流形的諸多幾何性質：例如龐加萊不等式等幾何分析的性質比較定理等。