19世紀是數學史上創造精神和嚴格精神高度發揚的時代。19世紀數學突破分析學獨占主導地位的局面，幾何、代數、分析各分支出現如雨後春筍般的競相發展。
基本介紹
- 中文名：十九世紀數學
- 範圍領域：數學
- 內容：分析學、幾何、代數等
- 相關書籍：《純粹與套用數學年刊》
內容簡介
19世紀是數學史上創造精神和嚴格精神高度發揚的時代。複變函數論的創立和分析學的嚴格化，非歐幾里得幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數的誕生，是這一世紀典型的數學成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著20世紀的數學。
概貌18世紀數學發展的主流是微積分學的擴展，它與力學和天文學的問題緊密相聯。微積分的運用使這些自然科學領域迅猛發展，至18世紀末，它們達到了一種相對完美的程度。然而，將數學和這些自然科學基本上視為一體的觀念，使當時一些著名的數學家,如J.-L.拉格朗日、L.歐拉、J.le R.達朗貝爾等對數學的前途產生了悲觀情緒，他們覺得數學泉源已近枯竭。而實際上，數學卻正處於全面興旺發達的前夜：18世紀的數學家忙於獲取微積分的成果與套用，較少顧及其概念與方法的嚴密性（如缺少函式、極限、連續性、級數收斂性的恰當定義），到18世紀末，為微積分奠基的工作已緊迫地擺在數學家面前；另一方面，處於17、18世紀數學研究中心課題之外的數學分支（如數論、綜合幾何、代數方程論等）已積累了一批重要問題，如複數的意義、歐幾里得幾何中平行公設的地位，高次代數方程根式解的可能性等，它們大都是從數學內部提出的課題，在18世紀末已引起數學家極大的關注；再者，自18世紀後期開始，自然科學出現眾多新的研究領域，如熱力學、流體力學、電學、磁學、測地學等等，從數學外部給予數學以新的推動力，19世紀許多最出色的數學家始終涉足於這些問題的研究。上述因素促成了19世紀數學充滿活力的創新與發展。
19世紀歐洲的社會環境也為數學發展提供了適宜的舞台，法國資產階級大革命（1789）所造成的民主精神和重視數學教育的風尚，鼓勵大批有才幹的青年步入數學教育和研究領地。法國在19世紀一直是最活躍的數學中心之一，湧現出一批優秀人才，如J.-B.-J.傅立葉、S.-D.泊松、J.-V.彭賽列、A.-L.柯西、J.劉維爾、E.伽羅瓦、C.埃爾米特、C.若爾當、(J.-)G.達布、(J.-)H.龐加萊、J.(-S.)阿達馬。他們在幾乎所有的數學分支中都作出了卓越貢獻。法國革命的影響波及歐洲各國，使整個學術界思想十分活躍，突破了一切禁區。英國新一代數學家克服近一個世紀以來以I.牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數學學習的“分析學會”(1812)，使英國進入世界數學發展的潮流。G.皮科克、G.格林、W.R.哈密頓、J.J.西爾維斯特、A.凱萊、G.布爾等英國數學界的傑出人物，在代數學、代數幾何、數學物理方面的成就尤為突出。德國在1870年統一之前，資本主義發展比較緩慢,但從18世紀下半葉起,它一直是思想意識領域十分活躍的地區，特別是思辨哲學強調事物內部矛盾促進事物發展的思想，對純粹數學的發展產生了有益的影響。從C.F.高斯登上數學舞台至19世紀下半葉，德國逐漸發展為與法國並駕齊驅的又一個世界數學中心,除高斯外,K.G.C.von施陶特、J.普呂克、C.G.J.雅可比、P.G.L.狄利克雷、H.G.格拉斯曼、E.E.庫默爾、K.(T.W.)外爾斯特拉斯、L.克羅內克、(G.F.)B.黎曼、J.W.R.戴德金、G.(F.P.)康托爾、(C.)F.克萊因、D.希爾伯特都無愧為19世紀最重要的數學家，他們的成就跟法國學者的一樣重要。處於數學中心之外的國家和地區,也出現不少優秀學者,最突出的有挪威的N.H.阿貝爾和M.S.李,捷克的B.波爾查諾俄國的,Η.И.羅巴切夫斯基、∏.Л.切比雪夫和С.Β.柯瓦列夫斯卡婭,匈牙利的J.波爾約，義大利的E.貝爾特拉米和G.里奇等。這種人才輩出的局面在數學史上是空前的。
19世紀數學突破分析學獨占主導地位的局面，幾何、代數、分析各分支出現如雨後春筍般的競相發展。僅在19世紀的前30多年中，一批二三十歲的年輕數學家就在數論、射影幾何、複變函數、微分幾何、非歐幾何、群論等領域作出開創性的成績。隨著眾多新研究方向的開拓和證明嚴格化的要求，越來越多的學者開始埋頭於較窄的領域作精細的研究。如阿貝爾主要從事分析與代數學研究，彭賽列專攻射影幾何，伽羅瓦關心代數方程的可解性。只有高斯和柯西仍然關心科學與數學中幾乎所有的問題。在19世紀下半葉，一些數學家注意了各分支間的聯繫，最著名的有克萊因的埃爾朗根綱領，在幾何中引進群的觀點，取得很大成功。但專門化的研究方式尚處於方興未艾的階段。從19世紀晚期開始的將數學各分支奠基於公理體系之上的運動，又推進了各分支的細分，這種傾向一直延續到20世紀。
19世紀數學家的工作方式呈現出全新的不同於18世紀的特色。數學成為一項得到全社會承認的職業。數學家主要在大量培養人才的新型大學教書。研究與教學有機地聯繫在一起。法國的巴黎綜合工科學校、巴黎高等師範大學，德國的柏林大學、哥廷根大學是當時最重要的數學研究與教學中心。由於數學家人數與成果的劇增，交流思想與成果的渠道增多了，數學雜誌成了重要的傳播媒介。法國的J.-D.熱爾崗編輯出版了《純粹與套用數學年刊》(1810)，是最早的專門數學期刊。之後，高水平的數學雜誌相繼問世，最著名的有A.L.克雷爾創辦的德文的《純粹與套用數學雜誌》（1826，世稱克雷爾雜誌）,J.劉維爾創辦的法文的《純粹與套用數學雜誌》（1836，世稱劉維爾雜誌）。到19世紀後半葉，隨著各國數學會的問世，各種會刊及專門雜誌顯著增加。這些數學會還在推動本國數學發展和促進國際學術交流方面發揮積極作用。最早成立的是倫敦數學會(1865)，之後創建的有法國數學會(1872)、美國數學會(1888)和德國數學會(1890)。在接近世紀之末，由各國數學會發起在瑞士蘇黎世召開了第一屆國際數學家大會(1897)，後成為一項定期舉行的國際學術活動。
19世紀數學的發展錯綜複雜，粗略地可以分為四個階段。
數論、分析與幾何的創新（19世紀初至20年代末）1801年，高斯發表《算術研究》，這部象徵近代數論起點的巨著，同時也打開了數學新世紀的大門。19世紀前的數論主要是一些漂亮但卻孤立的成果，高斯一方面將這些成果系統化、對問題及方法加以分類，同時開闢了全新的課題及方法。他在數論中樹立了嚴格證明的典範，認為找出簡單漂亮的證明，有助於掌握問題的實質並發現不同問題間的聯繫（典型的是他給出了二次互反律的7個證明）。 高斯的觀點代表了19世紀對數學嚴密性追求的時代精神，也指出了純粹數學發展的一條途徑。同年,高斯依據少量觀測數據,運用誤差分析等方法計算出穀神星的軌道，準確地預報了這顆小行星在天空出現的時刻，鬨動了科學界。高斯在一生中始終對理論與套用同等重視，他的成就一直鼓舞著最有才華的數學家。他和阿基米德、牛頓一起，被認為是歷史上最偉大的數學家。
1807年，傅立葉向巴黎科學院提交了一篇關於熱傳導的文章，在解熱傳導方程時，提出任意函式可用三角級數表示。這是分析學在19世紀的第一項重要工作，它不僅使分析方法進入新的物理領域，而且擴展了函式概念，推進了偏微分方程理論。對傅立葉級數收斂點的研究，最終導致G.(F.P.)康托爾創立集合論。傅立葉本人尚保留有18世紀的風格，沒有討論級數的收斂性，但由於傅立葉級數在套用中的重要性，研究其收斂性成為分析嚴格化的動力之一。
19世紀分析嚴格化的倡導者有高斯、波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷等人。1812年，高斯對一類具體的級數──超幾何級數,進行了嚴密研究,是歷史上第一項重要的有關級數收斂性的工作。1817年，波爾查諾首先拋棄無窮小量概念，用極限觀念給出導數和連續性的定義，並得到判別級數收斂的一般準則(現稱柯西準則)，由於他的工作長期被埋沒，因此對當時數學的發展沒有產生影響，是數學史上一件憾事。柯西是對分析嚴格化影響最大的學者，1821年發表了《分析教程》，除獨立得到波爾查諾的基本結果，還用極限概念定義了連續函式的定積分。這是建立分析嚴格理論的第一部重要著作。值得注意的是柯西的分析理論基本上基於幾何直觀，按現代標準衡量仍不夠嚴密。阿貝爾一直強調分析中定理的嚴格證明，在1826年最早使用一致收斂的思想證明了連續函式的一個一致收斂級數的和在收斂區域內部連續。
柯西在建立嚴格的分析理論的同時，還為19世紀最重要的數學創造之一(單複變函數論)奠定了基礎。1814～1825年間，他得到了計算複函數沿複平面上路徑積分的基本定理（即柯西積分定理）和留數計算公式。由於柯西的工作，複數和複變函數論在19世紀20年代已為廣大數學家所熟悉。1826年，阿貝爾和雅可比創立了橢圓函式理論，成為複變函數論蓬勃發展的生長點。
19世紀最富革命性的創造當屬非歐幾何。自古希臘時代始，歐氏幾何一直被認為是客觀物質空間惟一正確的理想模型，是嚴格推理的典範。16世紀後的數學家在論證代數或分析結果的合理性時，都試圖歸之為歐氏幾何問題。但歐氏幾何的平行公設曾引起數學家的持久的關注，以弄清它和其他公理、公設的關係。這個煩擾了數學家千百年的問題，終於被高斯、羅巴切夫斯基和波爾約各自獨立解決。高斯在1816年已認識到平行公設不可能在歐氏幾何其他公理、公設的基礎上證明，得到在邏輯上相容的非歐幾何，其中平行公設不成立，但由於擔心受人指責而未發表。1825年左右，波爾約和羅巴切夫斯基分別得到同樣的結果，並推演了這種新幾何中的一些定理。羅巴切夫斯基1829年的文章《論幾何基礎》是最早發表的非歐幾何著作，因此這種幾何也稱為羅巴切夫斯基幾何。這項發現的技術細節是簡單的，但觀念的變革是深刻的，歐氏幾何不再是神聖的，數學家步入了創造新幾何的時代。非歐幾何對人們認識物質世界的空間形式提供了有力武器，但由於它背叛傳統，創立之初未受到數學界的重視。只是當高斯有關非歐幾何的通信和筆記在他1855年去世後出版時，才因高斯的名望而引起數學家們的關注。
19世紀前半葉最熱門的幾何課題是射影幾何。17世紀G.德扎格提出了射影幾何的一些基本概念與方法，但影響遠不如當時剛剛興起的解析幾何學。18世紀是分析學興旺的時代，純粹幾何(或稱綜合幾何)的研究默默無聞。隨著18世紀後期學術思想的活躍和由G.蒙日等人喚起的對純幾何課題的重視，射影幾何復興了。在某種程度上，這是對分析方法介入幾何的抵制所產生的後果。1822年,彭賽列發表《論圖形的射影性質》,這是他1813～1814年被俘關在俄國時開始的研究的總結。他探討幾何圖形在任一投影下所有截影所共有的性質，他的方法具有象解析幾何那樣的普遍性。1827年左右，普呂克等人引進齊次坐標，用代數方法研究射影性質，豐富了射影幾何的內容。
對純幾何問題興趣的增長，並未減弱分析在幾何中的套用。微分幾何學創立於18世紀，當時內容僅涉及用分析方法研究位於歐氏空間的曲線、曲面的性質。高斯從1816年起參與大地測量和地圖繪製工作，引起他對微分幾何的興趣。1827年他發表的《關於曲面的一般研究》，為這一數學分支注入了全新的思想，即把在參數表示下的曲面本身看成一個空間，它的特性不依賴它周圍的空間（在這種觀點下研究的幾何稱為內蘊幾何），開創了微分幾何的現代研究。
代數學在這一階段最突出的成果是阿貝爾證明了一般五次及五次以上代數方程無根式解(1824)。代數思想的革命發生在19世紀30～40年代。
代數觀念的變革（19世紀20年代末至40年代末）1830年，G.皮科克的《代數學》問世，書中對代數運算的基本法則進行了探索性研究。在這之前，代數的符號運算實際僅是實數與複數運算的翻版。皮科克試圖建立一門更一般的代數，它僅是符號及其滿足的某些運算法則的科學。他和A.德·摩根等英國學者圍繞這一目標的工作，為代數結構觀點的形成及代數公理化研究作了嘗試，因而皮科克被譽為“代數中的歐幾里得”。皮科克的目標雖然很有價值，但方法過於含糊，無法達到他的願望。
代數中更深刻的思想來自數學史上傳奇式的人物E.伽羅瓦。在1829～1832年間，他提出並論證了代數方程可用根式解的普遍的判別準則，從概念和方法上為最基本的一種代數結構(群)的理論奠定了基礎，闡明了群的正規子群及同構等重要概念。伽羅瓦在1832年去世前，幾次向巴黎科學院遞交他的論文，均未獲答覆。他的理論在1846年由劉維爾發表之前幾乎無人知曉，到19世紀60年代後才引起重視，這是數學史上新思想歷經磨難終放異彩的最典型的例證。
另一項引起代數觀念深刻變革的成果，歸功於哈密頓和H.G.格拉斯曼。哈密頓在用“數對”表示複數並探究其運算規則時,試圖將複數概念推廣到三維空間,未獲成功，但卻意想不到的創立了四元數理論，時間是1843年。四元數是第一個被構造出的不滿足乘法交換律的數學對象。從此，數學家便突破了實數與複數的框架，比較自由地構作各種新的代數系統。四元數理論一經問世便引來數學與物理學家的討論，它本身雖沒有廣泛套用，但成為向量代數、向量分析以及線性結合代數理論的先導。1844年，格拉斯曼在討論n維幾何時,獨立得到更一般的具有n個分量的超複數理論,這一高度獨創的成果由於表達晦澀，無法為當時的學者所理解。
在這一時期，還誕生了代數不變數理論，這是從數論中的二次型及射影幾何中的線性變換引伸出的課題。1841年左右，凱萊受布爾的影響開始研究代數型線上性變換下的不變數。之後，尋找各種特殊型的不變數及不變數的有限基,成為19世紀下半葉最熱門的研究課題,出現了人數眾多的德國學派，進而開闢了代數幾何的研究領域。
數論中的重要問題，往往成為新思想發展的酵母。1844年，E.E.庫默爾在研究費馬大定理時提出了理想數理論，藉助理想數可證明在惟一因子分解定理不成立的代數數域中，普通數論中的某些結果仍成立。
在這代數學豐產的時期，幾何、分析和數論也都有長足的進步。格林在討論變密度橢球體的引力問題時，考慮了n維位勢(1833～1835);凱萊在分析學中討論了具有 n個坐標的變數(1843)；格拉斯曼則直接從幾何上建立高維空間理論(1844)。他們從不同角度導出超越直觀的 n維空間概念。施陶特確立了不依賴歐氏空間的長度概念的射影幾何體系(1847)，從邏輯上說明射影幾何比歐氏幾何更基本。
分析的嚴格化在繼續。狄利克雷按變數間對應的說法給出現代意義下的函式定義（1837）。外爾斯特拉斯開始了將分析奠基於算術的工作（1841），從1842年起，採用明確的一致收斂概念於分析學，使級數理論更趨完善。值得注意的是，未經嚴格證明的分析工具仍被廣泛使用，在獲得新結果方面顯示威力。格林首先使用了位勢函式的極小化積分存在的原理，即現稱的狄利克雷原理(1833)，它的嚴格理論遲至1904年才為D.希爾伯特闡明，但是在19世紀50年代成為黎曼研究分析學的重要工具。
隨著分析工具的逐步完善，數學家開始更自覺地在數學其他分支使用它們。除微分幾何外，解析數論也應運而生。1837年，狄利克雷在證明算術序列包含無窮多素數時，精心使用了級數理論，這是近代解析數論最早的重要成果。劉維爾則在1844年首次證明了超越數的存在，引起數學家對尋找超越數和證明某些特殊的數為超越數的興趣。在下半世紀,F.von林德曼利用埃爾米特證明e為超越數的方法，證明了π的超越性(1882)，從而徹底解決了化圓為方問題。
新思想的深化階段（19世紀50年代至70件代初）1851年，黎曼的博士論文《單複變函數一般理論的基礎》第一次明確了單值解析函式的定義，指出了實函式與複函數導數的基本差別，特別是闡述了現稱為黎曼面的概念和共形映射定理,開創了多值函式研究的深刻方法,打通了複變函數論深入發展的道路。黎曼本人利用這一思想出色地探討了阿貝爾積分及其反演阿貝爾函式(1857)。1854年，黎曼為獲大學講師資格，提交了兩篇論文，其中《關於作為幾何學基礎的假設》是數學史上影響最深遠的作品之一。在19世紀前半葉，數學家已認識到存在不同於歐氏幾何的新幾何學，並發展了內蘊幾何和高維幾何的理論，但它們處於分散與孤立的狀態。黎曼以其深刻的洞察力將三者統一於 n維流形的理論，開始了現代微分幾何學（或稱黎曼幾何）的研究。這是關於任意維空間的內蘊幾何，黎曼以二次微分形式定義流形的度量，給出了流形曲率的概念。他還論證了能在球面上實現二維正的常曲率空間（即被克萊因稱為橢圓幾何的非歐幾何；羅巴切夫斯基幾何被稱為雙曲幾何）。據說黎曼的深刻思想當時只有高斯能理解。經19世紀60年代貝爾特拉米等人的介紹與推進，黎曼的理論才開始為廣大數學家領悟，他們對微分不變數的研究，最後導致里奇創立張量理論(1887)。在另一篇論文中，黎曼探討了將積分概念推廣到間斷函式上去，提出了現稱為黎曼積分的概念。他構造了具有無窮間斷點而按他的定義仍可積的函式。尋找這類函式是19世紀70～80年代很時髦的課題。沿著擴展積分概念的方向，後來的數學家得到各種廣義積分，最著名的當屬20世紀初出現的勒貝格積分。1859年，黎曼研究ζ函式的復零點，提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想,在幾何、分析、數論領域長盛不衰,有力地影響著19世紀後期以至20世紀的數學研究。
K.(T.W.)外爾斯特拉斯在這一時期繼續分析算術化的工作,提出了現代通用的極限的ε-δ說法, 即用靜態的方法(不等式)刻畫變化過程。他構造出處處不可微的連續函式實例,告誡人們必須精細地處理分析學的對象,對實變函式論的興起起了催化作用。在複變函數論方面,他提出了基於冪級數的解析開拓理論。外爾斯特拉斯的眾多成果出自他任中學教員的時期(1841～1856)，到1859年出任柏林大學教師後才廣為人知。由於他為分析奠基的出色成就，後被譽為“現代分析之父”。
當德國學者在分析與幾何領域大放異彩之時，英國學者繼續發揮他們在代數中的優勢。1854年，布爾發表了《思維規律的研究》，創立了符號邏輯代數（亦稱布爾代數），這是使演繹推理形式化的有力工具。布爾強調數學的本質不是探究對象的內容,而是研究其形式,因而數學不必限於討論數和連續量的問題，可由符號表示的一切事物都可納入數學領域。1855年，凱萊在研究線性變換的不變數時，系統地提出矩陣概念及其運算法則。矩陣是繼四元數之後的又一類不滿足乘法交換律的數學對象，它們和群論都是推動抽象代數觀點形成發展的重要因素。在凱萊之後，矩陣理論不斷完善，不僅成為數學中的銳利武器，還是描述和解決物理問題的有效武器。基於對矩陣和四元數的認識，凱萊還引進了抽象群的概念(1849～1854)，但未立刻引起重視，抽象群論的發展還有待於對各種具體的群作深入的研究。
19世紀60年代末，若爾當擔起了向數學界闡明伽羅瓦理論的重任，在發表於1870年的《置換論》中，他對置換群理論及其與伽羅瓦方程論的聯繫作出清晰的總結，為群論在19世紀最後30年間的發展奠定了基礎。
在這一時期，數學家對射影幾何及非歐幾何的認識也日趨深化。1859年，凱萊論證了歐氏空間的度量性質並非圖形本身的屬性，而可以藉助某種特定圖形按射影概念加以建立，說明歐氏幾何是射影幾何的一部分。克萊因發揮凱萊的思想，同樣論證非歐幾何也可以包括在射影幾何之內（1871）。這樣便徹底澄清了射影幾何與那些度量幾何的關係，鋪平了幾何公理化發展的道路。1868年，貝爾特拉米在偽球面上實現了羅巴切夫斯基幾何，在歐氏空間中給出直觀上難以想像的非歐幾何模型。之後克萊因和龐加萊分別給出各自的非歐幾何模型，說明非歐幾何本身的相容性（即無矛盾性）與歐氏幾何一致，加速了人們接受非歐幾何的進程。
在60年代末70年代初，由高斯在19世紀初開闢的代數數論研究，經由戴德金和克羅內克等人的推進，形成為內容豐富的現代數學分支。戴德金引進一種代數數類代替庫默爾的理想數，重建了代數數域中的惟一因子分解定理，創立了理想論。克羅內克則另闢蹊徑，得到相似的概念，並創立有理函式域論，引進在域上添加代數量生成擴域的方法。
這裡，需要提及機率論中的幾項重要成果。在19世紀，機率論的發展不象數學其他分支那樣突出。自拉普拉斯之後，泊松曾得到著名的泊松分布(1837)。更重要的是切比雪夫關於獨立隨機變數序列的大數律(1866)和某類獨立隨機變數序列的中心極限定理(1867)，機率論的系統理論到20世紀才完成。
綜上所述，可看到19世紀前半葉出現的新思想，在這20多年間變得更成熟，形成了眾多獨立的研究方向或分支學科。
為數學奠基及公理化運動的初創期（19世紀70年代初至19世紀末）數學經過19世紀前70年的發展，討論基礎問題的條件已趨成熟。與以前的世紀不同19世紀的數學家最終選擇算術而不是幾何作為本門科學的基礎。幾何中普呂克有關齊次坐標的研究，分析中外爾斯特拉斯的靜態方法都反映了這種傾向。但是算術中最基本的實數概念始終是模糊的。柯西的實數定義有嚴重缺陷，犯了循環定義的錯誤。1872年，外爾斯特拉斯、G.康托爾、戴德金和其他一些數學家，在確認有理數存在的前提下，通過不同途徑(戴德金分割、有理數的基本序列)給無理數下了精確定義。又經過不少數學家的努力，最終由義大利學者G.皮亞諾完成了有理數理論。1881年，他在《算術原理新方法》中，給出了自然數的公理體系，由此可從邏輯上嚴格定義正整數、負數、分數、無理數。
G.康托爾在探討實數定義的同時，研究了傅立葉級數收斂點集的結構，1874年起發表一系列有關無窮集合的文章，開創了集合論這一基礎性的數學分支。G.康托爾的成果是高度獨創性的，他把無窮集本身作為研究對象，通過一一對應方法，區分無窮集的大小，定義了集合的基數（或稱勢），引進序型、序數以及一些屬於拓撲學的基本概念。他提出了著名的連續統假設。G.康托爾的工作影響十分深遠：首先是重新喚起人們對實無窮的研究，開拓了點集拓撲的領域；第二，使人們把函式的定義域建立在一般的點集之上，推動了測度論和泛函分析的研究；第三,由於集合論的內在矛盾,激發起對數理邏輯和數學基礎的深入研究。但集合論問世之初，曾遭到一些著名數學家（如L.克羅內克）的激烈反對，以至G.康托爾晚年處於精神崩潰狀態。到19世紀末，J.阿達馬等證實了G.康托爾的理論在分析學中的重要套用，才使這一理論得到轉機，終於成為20世紀數學研究的一個基礎。
分析的嚴格化以皮亞諾的自然數公理體系的建立而告一段落。這種公理化的傾向也同樣在其他數學分支蔓延。(F.L.)G.弗雷格提出了邏輯公理體系(1879)，M.帕施得到了射影幾何的公理體系(1882)。最著名的是希爾伯特於1899年在《幾何基礎》中闡述的歐幾里得幾何的公理系統。他考慮了公理系統的獨立性、相容性和完備性，並證明歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術的相容性。希爾伯特的工作掀起了公理化的熱潮:一方面,數學家為各數學分支建立公理體系；另一方面，通過略去、否定或其他方式改變所論體系的公理來探索新體系、新問題。
公理化運動並沒有限制新思想的萌生和對各種具體課題的研究，後者始終是數學發展中最活躍的因素，群論的套用在這一時期特別引人矚目，1872年，克萊因受聘任埃爾朗根大學教授時，發表題為《關於近代幾何研究的比較考察》的講演（即著名的埃爾朗根綱領），他指出每種幾何可由特定的變換群來刻畫，各種幾何的研究內容是在相應的變換群下的不變數，一種幾何的子幾何則是研究原變換群的子群的不變數。根據變換群的觀點，克萊因對幾何進行了系統分類，揭示了群的概念在幾何中的統一作用(不包括一般的黎曼幾何和代數幾何)，開拓了研究幾何的一種有效的方法。克萊因的工作體現了數學專門化趨勢中蘊含的統一因素。1874年，挪威數學家M.S.李在研究常微分方程與保持這些方程的解不變的變換群之間的關係時，創建了連續變換群理論（現稱李群）以及相應的代數（現稱李代數）。有了對具體的群的廣泛研究，抽象群論獲得了新生。1882年，德國數學家W.F.A.von迪克受凱萊工作的鼓舞,引進用生成元和生成元之間關係來定義群的抽象觀點，開始抽象群論的系統研究。與此相伴的是分析與經典代數方法對群論的套用，即群的表示理論應運而生。
組合拓撲學作為一門學科(當時叫“位置分析”)在19世紀末登上了數學舞台。龐加萊是這一領域的主要奠基者。龐加萊是當時領頭的數學家之一，興趣廣泛，研究涉及眾多數學分支以至天體力學和物理科學。在探討描述行星運動的微分方程周期解時，他採用了拓撲觀點分析奇點及積分曲線的結構，開創了微分方程定性理論（1881～1886）。在研究一般 n維圖形的結構時，引進了一套系統的組合方法,為組合拓撲奠定了基礎(1892～1904)。拓撲和抽象代數的觀點和方法成為 20世紀最有影響的研究手段。
與龐加萊齊名的另一位著名數學家是D.希爾伯特。他不僅積極創導了公理化方法，而且特別重視數學中單個重大問題的研究，認為這是數學活力之所在。他本人就通過解決一系列具體問題，得到許多重要方法。19世紀末，他發表了兩個報告。《數論報告》(1897)系統總結了代數數論的全部成果，開闢了類域論的研究方向。1900年，在第二屆國際數學家大會上，他作了影響深遠的題為《數學問題》的報告(見希爾伯特數學問題)，成為迎接20世紀挑戰的宣言。
在數學分成幾十個分支各自獨立發展的形勢下，希爾伯特堅信數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在於各部分之間的聯繫。在19世紀末，領頭數學家對數學前途充滿了信心，與18世紀末的情景形成鮮明對照。龐加萊和希爾伯特的業績展示了20世紀數學大發展的曙光。
