《球面上次黎曼結構的幾何及譜分析》是依託天津大學，由李成博擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：球面上次黎曼結構的幾何及譜分析
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：李成博
- 依託單位：天津大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近些年，次黎曼(sub-Riemannian)幾何的理論有了很多進展，與其他領域（CR幾何、量子力學、度量幾何、圖像學等）的聯繫也得到了廣泛的研究。.本項目研究球面上的次黎曼幾何及其sub-Laplace運算元和Grushin型運算元的譜性質。我們首先研究所有球面上滿足強括弧生成條件的次黎曼結構的存在性及其分類；然後，研究得到的次黎曼結構上的sub-Laplace運算元和Grushin型運算元的譜和譜zeta函式，及其與次黎曼幾何的關係；最後，研究 球面上次黎曼測地線的表達式和個數問題。.本項目的結果和譜分析的方法對於次黎曼幾何理論具有重要意義,在量子力學中會有一定的套用。
結題摘要
近些年，次黎曼(sub-Riemannian)幾何的理論有了很多進展，與其他領域（CR幾何、量子力學、度量幾何、圖像學等）的聯繫也得到了廣泛的研究。在量子力學的研究中，奇數維球面上的Hopf叢的次黎曼結構自然地出現。我們研究了這種次黎曼結構的曲率不變數並用復射影空間的Fubini-Study度量的黎曼曲率運算元和Hopf叢的曲率形式給出了表達式。同時，由截面曲率和曲率形式的上下界，我們給出了次黎曼測地線的共軛點的個數的比較定理。本工作套用了I. Zelenko和項目負責人的前期的關於余維數1的次黎曼結構的曲率和比較定理的工作，同時為其提供了一個典型的例子。
