圖和複雜網路的譜分析

《圖和複雜網路的譜分析》是依託上海交通大學，由張曉東擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：圖和複雜網路的譜分析
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張曉東
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

圖和複雜網路的譜分析是當前國際上複雜網路理論中一個重要研究課題。本項目主要研究圖和複雜網路的譜（鄰接矩陣譜和拉普拉斯矩陣譜等）性質和特性以及對應的特徵向量性質。建立能夠用來反映複雜網路的拓撲結構的一些重要基本參數（平均距離、聚集係數、度分布、介數等）與它們的譜之間內在的聯繫。通過對現實系統的複雜網路的各種模型（小世界模型、BA模型等）譜和譜分布（譜密度）的分析，試圖再現和理解複雜網路的結構、形狀和性質、以及如何進行演化的機理。通過圖和複雜網路系統的結構與特徵值以及它們重數和對應特徵向量的某些定量關係來解釋複雜網路中某些動力學行為。從數學角度給出從統計物理、生物科學和其它學科得到一些結果（小世界直徑、度分布等）嚴格證明和定量的刻畫。本課題不僅涉及到數學中圖論、矩陣分析、機率論和隨機過程等分支，而且涉及到統計物理、生物科學和社會科學等領域。這是一個多學科相互交叉、滲透、影響的綜合性研究項目。

結題摘要

圖和複雜網路的譜分析是國際上複雜網路理論中一個十分重要並且非常活躍的研究課題. 本課題取得的主要結果包括 1. 利用隨機圖論,代數和機率等方面理論和知識, 從數學角度嚴格給出並且證明了小世界網路的代數連通度一個好的下界. 這個結果可以用來解釋物理學家和工程學家等發現“小世界網路具有快速收斂和網路同步和一致性”的性質. 2.利用離散節點理論和網路的拉普拉斯特徵向量的符號給出複雜網路應該有多少個社團和如何劃分這些社團以及快速算法. 3.解決了Merris在1998 年中提出關於圖的雙隨機矩陣的問題.4. 完全刻畫了錯點陣圖、偶錯點陣圖、烙餅圖等圖類最大獨立集和自同構群的結構. 5.建立了與連續黎曼幾何的Faber–Krahn 不等式相對應的網路上具有Dirichlet拉普拉斯的類似不等式. 6. 研究給定度序列的p拉普拉斯矩陣的譜與特徵向量的性質. 在三年期間一共在國內外發表了24篇論文, 其中18篇是SCI 論文. 這些論文已經被引用十多次, 其中一篇被他人在SCI雜誌上引用6次. 這些研究成果已經得到國際同行的關注. 在學術交流方面, 組織《第七屆組合論國際會議》, 參與組織了2個國際會議和2 個國內會議. 在3個國際會議上和2個國內會議做大會邀請報告, 在10個國際會議和7個國內會議做分組報告. 訪問韓國和國內8所大學, 邀請32位國外專家學者訪問數學系. 人才培養方面, 培養已經畢業2名博士和5名在讀博士. 已經畢業9名碩士生和在讀6名碩士生.已經結業4名國內訪問學者. 圓滿地並且在許多地方超額完成預定的計畫.