《子流形的幾何與曲率流研究》是依託湖北大學，由吳傳喜擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：子流形的幾何與曲率流研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：吳傳喜
- 依託單位：湖北大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
子流形幾何是現代微分幾何的一個重要分支，其研究不僅具有重要的數學意義，而且在物理學上也有重要套用。本項目主要探討子流形的整體幾何和分析性質，包括共形幾何、Bernstein型問題，以及子流形的曲率流等方面。具體地，我們一是研究非平坦外圍空間中高余維數子流形或類空子流形的Bernstein型問題；二是研究Lorentz空間形式中的共形等參超曲面，以及具有某些曲率條件的共形子流形；三是研究具有位置向量平衡項的凸超曲面曲率流和高余維完備非緊類空子流形的平均曲率流；四是研究高余維數子流形平均曲率流的旋轉對稱的Soliton解性質。這些都是當前微分幾何和幾何分析研究的基本問題和熱點問題，也是理論物理學家關注的重要問題。
結題摘要
本項目主要探討子流形的整體幾何和分析性質，包括共形幾何、Bernstein型問題，以及子流形的曲率流等方面。本項目按計畫完成了研究任務，具體地，我們研究了如下四方面問題。（1）子流形的Bernstein問題方面。我們一是研究了一類Calibrated流形中具有平行平均曲率向量和Calibrated角餘弦具有某種增長條件的子流形，給出了這類流形中具有任意維數和余維數子流形的Bernstein型結果。二是研究了一類非平坦偽黎曼流形中滿足某種條件的極大類空子流形，並在一定條件下證明了該子流形必是一線性映射的圖，從而得到了偽黎曼流形中具有高余維子流形的Bernstein型定理。（2）子流形的曲率流方面。我們一是研究了4維歐氏空間中具有位置向量平衡項的2維圖曲面的平均曲率流的長時間存在性，以及發展速度為某一曲率函式與某一外力場之差的凸曲率流的收斂性。二是研究了發展速度為第m個平均曲率的某一冪的具有任意平衡項的曲率流的發展問題，證明了這類曲率流的收縮、收斂性質和曲率函子為主曲率的一次齊次函式情形相同，推廣了相應結果。三是研究了歐氏空間或Minkowski空間中具有高余維數子流形的圖子流形的平均曲率流的旋轉對稱解的性質，完全給出了高余維數圖子流形平均曲率流的旋轉對稱的Soliton解的存在性和漸近性質。（3）子流形的共形幾何研究方面。我們一是給出了共形空間中具有兩個共形主曲率的等參超曲面的分類。二是研究了共形空間中具有平行的共形第二基本形式的I型類時超曲面，並給出了相應的分類結果。三是研究了共形空間中的正則子流形的相關性質，給出了這類子流形的某些特徵。四是研究了共形空間中共形形式為零的類空曲面，並運用極大值原理給出了反de Sitter空間中具常平均曲率的類空超曲面的分類。（4）開流形的微分同胚性質研究方面。我們一是研究了一類非緊，且具有非負Ricci曲率和大體積增長的黎曼流形的微分同胚性質，證明了當該黎曼流形的測地球和歐氏空間中具有相同半徑的標準球面的體積比滿足一定條件時，該黎曼流形必須同胚於歐氏空間。二是研究了一類徑向曲率非負的開黎曼流形的整體幾何拓撲性質，證明了如果該類流形的徑向曲率衰退到0，且從一點開始有足夠多的測地線，則該類流形也和歐氏空間微分同胚。
