子流形幾何中的陳省身猜想與特徵值問題研究

《子流形幾何中的陳省身猜想與特徵值問題研究》是依託浙江大學，由許智源擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：子流形幾何中的陳省身猜想與特徵值問題研究
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：許智源
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

本項目旨在研究子流形幾何中的曲率空隙與曲率拼擠問題、特徵值估計與特徵值拼擠問題。通過探索新的曲率估計方法，深入研究球面中具有常數量曲率的閉極小超曲面數量曲率的第二空隙、球面中閉極小超曲面數量曲率的第二拼擠區間的最佳化問題，推進關於球面中極小超曲面的陳省身猜想的研究。特別地，將研究四維球面中閉極小超曲面數量曲率的最優第二拼擠問題，並將上述研究課題進一步推廣到球面中常平均曲率超曲面和歐氏空間中平均曲率流的自收縮子情形。更一般地，將研究球面中高余維閉極小子流形關於外蘊曲率量的第二空隙存在性問題及其推廣。另一方面，本項目將研究黎曼子流形的高階特徵值估計問題，研究歐氏空間中超曲面與高余維子流形第一特徵值的拼擠問題。本課題屬核心數學的前沿領域，具有很強的理論性和若干重要的套用。

結題摘要

子流形幾何是現代微分幾何的主流研究方向之一。本項目主要研究了關於球面中極小超曲面的陳省身猜想及其推廣、空間形式中子流形的積分型曲率拼擠問題、黎曼流形上高階特徵值估計等國際前沿課題。運用Bochner技巧、多參數變數法、Sylvester理論等綜合方法，我們兩次改進了關於球面中極小超曲面數量曲率的第二拼擠定理，證明了單位球面中n維極小超曲面關於數量曲率的第二拼擠區間寬度至少為n/18；獲得了球面中n維小常平均曲率超曲面關於數量曲率的新的第二拼擠定理；證明了(n+1)維歐氏空間中n維自收縮子關於S的第二拼擠區間寬度至少為1/18；獲得了(n+1)維歐氏空間中λ超曲面關於S的第二拼擠定理；證明了積分型曲率拼擠條件下關於歐氏空間中一類閉超曲面的球面定理；證明了關於雙曲空間中一類完備的平行平均曲率子流形的積分型曲率拼擠定理；估計了一類黎曼子流形上Laplace運算元和Schrodinger運算元的高階特徵值。